Ellisse - Problema con i limiti
Non mi è chiaro come risolvere questo problema con i limiti che coinvolge l'ellisse. Vi dico come ho ragionato.
"Considera l'ellisse $x^2/4 + y^2/9=1$ e la retta $r$ di equazione $3x+2y-6=0$ . Siano $A$ e $B$ i loro punti di intersezione ( $A$ di ascissa maggiore). Sull'arco di ellisse $AB$ prendi un punto $P$ e calcola:
$lim_(P->A)((PK)/(PH))$ dove $PK$ è la distanza di $P$ dalla retta e $PH$ è la distanza dalla tangente all'ellisse in $A$ ."
Intanto sappiamo che l'ellisse in questo caso è "in verticale"; una volta disegnatolo, ricavo due punti dall'equazione di $r$ e traccio la secante, che peraltro interseca l'ellisse proprio in due suoi vertici, $A$ di ascissa maggiore e $B$ in questo caso di ascissa zero.
Prendo un punto $P$ sull'arco di ellisse $AB$ , e traccio $PH$ e $PK$.
Sbaglierò, ma visivamente, per $P$ che si avvicina ad $A$ sia $PH$ che $PK$ si annullano, ossia tendono a zero... però così non solo avrei una forma indeterminata che in questo caso non ho idea di come risolvere, ma mi discosterei dal risultato del testo, che è $+oo$.
Ora la domanda è: come calcolo il limite richiesto dalla traccia? A cosa mi riconduco? Che passaggi eseguo?
Grazie anticipatamente.
"Considera l'ellisse $x^2/4 + y^2/9=1$ e la retta $r$ di equazione $3x+2y-6=0$ . Siano $A$ e $B$ i loro punti di intersezione ( $A$ di ascissa maggiore). Sull'arco di ellisse $AB$ prendi un punto $P$ e calcola:
$lim_(P->A)((PK)/(PH))$ dove $PK$ è la distanza di $P$ dalla retta e $PH$ è la distanza dalla tangente all'ellisse in $A$ ."
Intanto sappiamo che l'ellisse in questo caso è "in verticale"; una volta disegnatolo, ricavo due punti dall'equazione di $r$ e traccio la secante, che peraltro interseca l'ellisse proprio in due suoi vertici, $A$ di ascissa maggiore e $B$ in questo caso di ascissa zero.
Prendo un punto $P$ sull'arco di ellisse $AB$ , e traccio $PH$ e $PK$.
Sbaglierò, ma visivamente, per $P$ che si avvicina ad $A$ sia $PH$ che $PK$ si annullano, ossia tendono a zero... però così non solo avrei una forma indeterminata che in questo caso non ho idea di come risolvere, ma mi discosterei dal risultato del testo, che è $+oo$.
Ora la domanda è: come calcolo il limite richiesto dalla traccia? A cosa mi riconduco? Che passaggi eseguo?
Grazie anticipatamente.
Risposte
Non l'ho considerata in effetti l'equazione... comunque è la retta che passa per il punto $A (0;2)$ E $H$ che ho arbitrariamente preso $(2;2)$ .
"TR0COMI":
Non l'ho considerata in effetti l'equazione... comunque è la retta che passa per il punto $A (0;2)$ E $H$ che ho arbitrariamente preso $(2;2)$ .
$H$ Non è determinato... La sua ascissa varia in funzione di $P$.
Comunque sbagli. Se quel tuo punto $A$ appartenesse all'ellisse, sostituendo le sue coordinate nell'equazione della conica, dovrebbe venire un'identità.
Quindi $A$ non appartiene all'ellisse? Ma uno dei vertici dell'ellisse non dovrebbe avere coordinate $(a;0)$ ?
No scusa...ovviamente dal disegno è $A(2;0)$ .
"TR0COMI":
No scusa...ovviamente dal disegno è $A(2;0)$ .
Eh già. Quindi la tangente è una retta verticale, e la distanza la trovi facendo $|xP - xA|$ (perché la tangente è $x = xA = 2$). Concordi?
Quindi trovo la differenza $PH$ facendo $xA$ meno $xP$ , ossia $2-x$ che sarebbe poi, visto il limite, zero.
Però anche $PK$ è zero..
Però anche $PK$ è zero..
"TR0COMI":
Quindi trovo la differenza $PH$ facendo $xA$ meno $xP$ , ossia $2-x$ che sarebbe poi, visto il limite, zero.
Però anche $PK$ è zero..
D'accordo... Tendono ambedue a $0$. E' una forma indeterminata che devi sbrogliare.
Scusa seneca, ma andiamo per indovinelli?
Spiegami cosa sbroglio a questo punto...
Spiegami cosa sbroglio a questo punto...
Il problema fino ad esso è stato un problema abbastanza banale di geometria analitica. A questo punto ti viene chiesto di calcolare un limite.
Ma ora si presume che tu sappia almeno che cosa sia una forma indeterminata, perché da quel che leggo, mi pare che tu non ne abbia idea; e se è così, davanti alla maggiorparte dei limiti che ti proporranno non avrai idea di che pesci pigliare. Al contrario, se sai di cosa sto scrivendo, devi provare a risolverla. Fai un tentativo e poi lo vediamo assieme.
Ma ora si presume che tu sappia almeno che cosa sia una forma indeterminata, perché da quel che leggo, mi pare che tu non ne abbia idea; e se è così, davanti alla maggiorparte dei limiti che ti proporranno non avrai idea di che pesci pigliare. Al contrario, se sai di cosa sto scrivendo, devi provare a risolverla. Fai un tentativo e poi lo vediamo assieme.
Certo che so di cosa parli quando vi sono forme indeterminate... in questo caso, in genere o scompongo i polinomi e semplifico (ma qui non mi pare di poterlo fare) oppure mi riscrivo la funzione in altra maniera (es. moltiplicando e dividendola per una stessa quantità, trovando limiti notevoli, utilizzando magari il principio di sostituzione degli infinitesimi...).
Va bè che non sono al tuo livello, però neppure da buttare.
Va bè che non sono al tuo livello, però neppure da buttare.
Non è questione di livello. Sono uno studente anch'io.
L'esercizio si divide in due parti; fatta la prima e arrivati al limite, mi aspettavo che tu postassi qualche ipotetica risoluzione per vedere dove ti blocchi.
L'esercizio si divide in due parti; fatta la prima e arrivati al limite, mi aspettavo che tu postassi qualche ipotetica risoluzione per vedere dove ti blocchi.
Magari universitario però, e scusa se è poco.
Comunque il limite è $lim_(x->2)((3x+2sqrt(9-9/4x^2)-6)/sqrt(13))/(2-x))$ e la forma indeterminata è ovviamente $0/0$.
Limiti notevoli manco a parlarne; razionalizzare il denominatore non porta a nulla, non ci sono semplificazioni da fare. Potrei moltiplicare tutto per $sqrt(9-9/4x^2)$ ? andrei da qualche parte?
Comunque il limite è $lim_(x->2)((3x+2sqrt(9-9/4x^2)-6)/sqrt(13))/(2-x))$ e la forma indeterminata è ovviamente $0/0$.
Limiti notevoli manco a parlarne; razionalizzare il denominatore non porta a nulla, non ci sono semplificazioni da fare. Potrei moltiplicare tutto per $sqrt(9-9/4x^2)$ ? andrei da qualche parte?
Ho provato a portare fuori radice $9X^2$ ma non arrivo a nulla.
E se moltiplico e divido tutto per $2+x$ ?
"TR0COMI":
Magari universitario però, e scusa se è poco.
Comunque il limite è $lim_(x->2)((3x+2sqrt(9-9/4x^2)-6)/sqrt(13))/(2-x))$ e la forma indeterminata è ovviamente $0/0$.
Limiti notevoli manco a parlarne; razionalizzare il denominatore non porta a nulla, non ci sono semplificazioni da fare. Potrei moltiplicare tutto per $sqrt(9-9/4x^2)$ ? andrei da qualche parte?
Intanto è importante scrivere che $x -> 2^-$
$lim_(x->2)(((3x+2sqrt(9-9/4x^2)-6)/sqrt(13))/(2-x))$
Cambiamo variabile:
$x - 2 = z$
Quindi per $ x -> 2^- $, $z -> 0^-$
$lim_(z->0^-) (3(z + 2) + 2sqrt(9-9/4 (z + 2)^2)-6)/(sqrt(13)(z))$
$lim_(z->0^-) (3 sqrt(- z (z + 4)) + 3z)/(sqrt(13)(z))$
$lim_(z->0^-) (3 z ( sqrt(- z (z + 4))/z + 1)/(sqrt(13)(z))$
$lim_(z->0^-) 3 ( sqrt(- z (z + 4))/z + 1)/(sqrt(13))$
Porto $z$ sotto radice (anche se non si vede bene)...
$lim_(z->0^-) 3 ( sqrt[ (- z (z + 4))/z^2]+ 1)/(sqrt(13))$
$lim_(z->0^-) 3 ( sqrt[-(z + 4)/z] + 1)/(sqrt(13))$
Ed è fatta.
Quindi poi siccome viene $-4/0$ però è "zero da sinistra" allora abbiamo $+oo$ e $+oo$ diviso $sqrt(13)$ è sempre $+oo$. Lascio $z$ come variabile sino alla fine?
Non avevo assolutamente considerato il cambio di variabile... giusto per curiosità, in questo caso non c'è altra scelta?
Non avevo assolutamente considerato il cambio di variabile... giusto per curiosità, in questo caso non c'è altra scelta?
Ci sono altre scelte... Forse molto più immediate. Tuttavia è la prima che mi è venuta in mente.
Ad esempio, tra le "meno elementari" (nel senso che si impiegano le derivate) c'è la regola di De L'Hospital.
Ad esempio, tra le "meno elementari" (nel senso che si impiegano le derivate) c'è la regola di De L'Hospital.
Beh avendo iniziato da poco il calcolo delle derivate, direi che non "poteva" essere impiegata... grazie mille, alla prossima!
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