Ellisse - Problema con i limiti
Non mi è chiaro come risolvere questo problema con i limiti che coinvolge l'ellisse. Vi dico come ho ragionato.
"Considera l'ellisse $x^2/4 + y^2/9=1$ e la retta $r$ di equazione $3x+2y-6=0$ . Siano $A$ e $B$ i loro punti di intersezione ( $A$ di ascissa maggiore). Sull'arco di ellisse $AB$ prendi un punto $P$ e calcola:
$lim_(P->A)((PK)/(PH))$ dove $PK$ è la distanza di $P$ dalla retta e $PH$ è la distanza dalla tangente all'ellisse in $A$ ."
Intanto sappiamo che l'ellisse in questo caso è "in verticale"; una volta disegnatolo, ricavo due punti dall'equazione di $r$ e traccio la secante, che peraltro interseca l'ellisse proprio in due suoi vertici, $A$ di ascissa maggiore e $B$ in questo caso di ascissa zero.
Prendo un punto $P$ sull'arco di ellisse $AB$ , e traccio $PH$ e $PK$.
Sbaglierò, ma visivamente, per $P$ che si avvicina ad $A$ sia $PH$ che $PK$ si annullano, ossia tendono a zero... però così non solo avrei una forma indeterminata che in questo caso non ho idea di come risolvere, ma mi discosterei dal risultato del testo, che è $+oo$.
Ora la domanda è: come calcolo il limite richiesto dalla traccia? A cosa mi riconduco? Che passaggi eseguo?
Grazie anticipatamente.
"Considera l'ellisse $x^2/4 + y^2/9=1$ e la retta $r$ di equazione $3x+2y-6=0$ . Siano $A$ e $B$ i loro punti di intersezione ( $A$ di ascissa maggiore). Sull'arco di ellisse $AB$ prendi un punto $P$ e calcola:
$lim_(P->A)((PK)/(PH))$ dove $PK$ è la distanza di $P$ dalla retta e $PH$ è la distanza dalla tangente all'ellisse in $A$ ."
Intanto sappiamo che l'ellisse in questo caso è "in verticale"; una volta disegnatolo, ricavo due punti dall'equazione di $r$ e traccio la secante, che peraltro interseca l'ellisse proprio in due suoi vertici, $A$ di ascissa maggiore e $B$ in questo caso di ascissa zero.
Prendo un punto $P$ sull'arco di ellisse $AB$ , e traccio $PH$ e $PK$.
Sbaglierò, ma visivamente, per $P$ che si avvicina ad $A$ sia $PH$ che $PK$ si annullano, ossia tendono a zero... però così non solo avrei una forma indeterminata che in questo caso non ho idea di come risolvere, ma mi discosterei dal risultato del testo, che è $+oo$.
Ora la domanda è: come calcolo il limite richiesto dalla traccia? A cosa mi riconduco? Che passaggi eseguo?
Grazie anticipatamente.
Risposte
$P$ è un punto dell'ellisse e devi sfruttare l'appartenenza a quella conica per trovare le sue coordinate.
Come? Dunque, prova a considerare solo l'arco positivo di ellisse; in sostanza devi ottenere una funzione. Per far ciò basta esplicitare la y, e...
Come? Dunque, prova a considerare solo l'arco positivo di ellisse; in sostanza devi ottenere una funzione. Per far ciò basta esplicitare la y, e...
Devi credermi Seneca se ti dico che l'ellisse non l'abbiamo neppure mai studiato. Testuali della prof: "vedetevelo sul manabile". In effetti non ho idea di cosa considerare, se potessi essere un po' più specifico mi faresti un grosso favore. So che i puntini sospensivi sono soprattutto per stimolare, ma in questo caso...
Il tuo ellisse:
$x^2/4 + y^2/9 = 1$
si può scrivere così:
$y = +- sqrt( 9 - 9/4 * x^2)$
Tuttavia non può essere una funzione, ti pare?
Quindi devi prendere uno dei due rami:
$y = + sqrt( 9 - 9/4 * x^2)$ o $y = - sqrt( 9 - 9/4 * x^2)$
Ovviamente devi considerare quello che contiene, per così dire, l'arco $AB$. Quindi la prima delle due equazioni.
Un generico punto $P$, dovendo appartenere a quell'arco, ha coordinate:
$P ( t , sqrt( 9 - 9/4 * t^2) )$
Ti è chiaro?
A questo punto ti renderai conto che il rapporto $(PK)/(PH)$ sarà in funzione di $t$.
Come si fa, secondo te, ad esprimere che $P -> A$ facendo riferimento alla variabile $t$ ? $t$ tende a?
$x^2/4 + y^2/9 = 1$
si può scrivere così:
$y = +- sqrt( 9 - 9/4 * x^2)$
Tuttavia non può essere una funzione, ti pare?
Quindi devi prendere uno dei due rami:
$y = + sqrt( 9 - 9/4 * x^2)$ o $y = - sqrt( 9 - 9/4 * x^2)$
Ovviamente devi considerare quello che contiene, per così dire, l'arco $AB$. Quindi la prima delle due equazioni.
Un generico punto $P$, dovendo appartenere a quell'arco, ha coordinate:
$P ( t , sqrt( 9 - 9/4 * t^2) )$
Ti è chiaro?
A questo punto ti renderai conto che il rapporto $(PK)/(PH)$ sarà in funzione di $t$.
Come si fa, secondo te, ad esprimere che $P -> A$ facendo riferimento alla variabile $t$ ? $t$ tende a?
Scusami ma non ho colto il passaggio dalla $x$ alla $t$. Fino a "un generico punto $P$ " ci sono.
$t$ tende a zero?
$t$ tende a zero?
Oppure tende a $2$ ?
"TR0COMI":
Scusami ma non ho colto il passaggio dalla $x$ alla $t$. Fino a "un generico punto $P$ " ci sono.
$t$ tende a zero?
Non ho cambiato nulla. Per evitare di fare confusione tra parametri e variabili ho messo $t$ in loco di $x$.
Attenzione, comunque... Se $t -> 0$, $P -> B$. $A$ è il punto di ASCISSA maggiore.
"TR0COMI":
Oppure tende a $2$ ?
Ecco, così va bene.
Eppure nonostante questa miriade di spiegazioni, ancora non ho capito come giungere al limite vero e proprio.
per adesso: $lim_(t->2)$ ma $PK$ e $PH$ come li esprimo?
per adesso: $lim_(t->2)$ ma $PK$ e $PH$ come li esprimo?
Cioè, a me pare che per $t$ che si avvicina a due, sia $PH$ che $PK$ si avvicinino a zero... è visivo... o no?
Eh già... Sono segmenti infinitesimi ed il del loro rapporto limite si presenta nella forma indeterminata $[0/0]$.
Ad ogni modo ora che hai $P$ basta utilizzare le solite formule della geometria analitica per trovare quei due segmenti.
Ad ogni modo ora che hai $P$ basta utilizzare le solite formule della geometria analitica per trovare quei due segmenti.
Starai scherzando spero... a quali formule ti riferisci?
Davvero, non avevo neanche mai sentito nominare "segmenti infinitesimi"... mi sa che la prof non stava benissimo quando ci ha assegnato l'esercizio (ma proprio no!)
Davvero, non avevo neanche mai sentito nominare "segmenti infinitesimi"... mi sa che la prof non stava benissimo quando ci ha assegnato l'esercizio (ma proprio no!)
"TR0COMI":
Starai scherzando spero... a quali formule ti riferisci?
$PK$ lo trovi con la distanza punto-retta, mentre $PH$ con la classica formula della distanza tra due punti $|yH - yP|$.
Segmenti infinitesimi per $P -> A$ significa che il loro limite per $P -> A$ è $0$.
Non hai ancora fatto infiniti ed infinitesimi?
Non hai ancora fatto infiniti ed infinitesimi?
Però anche fatta così, dopo aver trovato $PK$ con la distanza punto-retta e $PH$ con la formula della distanza tra i due punti, il risultato del mio limite è zero, non certo il $+oo$ del testo... infatti $PH$ risulta essere $2$ in valore assoluto, e $PK$ viene zero.
Cos'è che non va?
Cos'è che non va?
"TR0COMI":
Però anche fatta così, dopo aver trovato $PK$ con la distanza punto-retta e $PH$ con la formula della distanza tra i due punti, il risultato del mio limite è zero, non certo il $+oo$ del testo... infatti $PH$ risulta essere $2$ in valore assoluto, e $PK$ viene zero.
Cos'è che non va?
Prova a scrivere i conti che hai fatto. Forse hai confuso i due segmenti.
La generica distanza $PK$ punto-retta secante mi viene $(3x+2sqrt(9-(9/4)x^2)-6)/sqrt(13)$ mentre $PH$ con la distanza tra due punti mi viene $2-sqrt(9-(9/4)x^2)$ in valore assoluto... non capisco.
(ho messo la $x$ in luogo della $t$ per dare più "linearità")
"TR0COMI":
La generica distanza $PK$ punto-retta secante mi viene $(3x+2sqrt(9-(9/4)x^2)-6)/sqrt(13)$ mentre $PH$ con la distanza tra due punti mi viene $2-sqrt(9-(9/4)x^2)$ in valore assoluto... non capisco.
Scrivi l'equazione della retta tangente all'ellisse nel punto A.
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