Ellisse e poligono
vi propongo il seguente problema, che ho trovato su un forum americano:
voglio circoscrivere un poligono equilatero di n lati ad un ellisse di semiassi a e b. Qual è la lunghezza, in funzione di n, dei lati del poligono, ammesso che sia univocamente determinata per n?
voglio circoscrivere un poligono equilatero di n lati ad un ellisse di semiassi a e b. Qual è la lunghezza, in funzione di n, dei lati del poligono, ammesso che sia univocamente determinata per n?
Risposte
L'unica cosa che forse sono riuscito a dimostrare è che non è unico il modo di circoscrivere poligoni equilateri ad una ellisse.
Per questo trovo difficoltà a trovare una relazione l(n) che immagino sia riferita ad un modo di procedere ricorsivo.
Modificato da - pachito il 28/03/2004 12:33:40
Per questo trovo difficoltà a trovare una relazione l(n) che immagino sia riferita ad un modo di procedere ricorsivo.
Modificato da - pachito il 28/03/2004 12:33:40
Si puo' provare a trasformare,mediante un'affinita',
l'ellisse in una circonferenza ed il poligono
equilatero in un poligono pure equilatero.
Poiche e' piu facile (forse) calcolare il lato
di questo nuovo poligono , mediante le equazioni
dell'affinita' potrebbe essere poi possibile calcolare
il lato del poligono di partenza.
Se l'equaqzione dell'ellissi e'( per es.):
x^2/a^2+y^2/b^2=1
le equazioni di una particolare affinita', che trasforma
l'ellissi nella circonferenza di raggio 1
e centro in O(0,0),sono:
x=a*X
y=b*Y.
Naturalmente le mie sono solo ipotesi,tutte da verificare
con calcoli effettivi.
karl.
l'ellisse in una circonferenza ed il poligono
equilatero in un poligono pure equilatero.
Poiche e' piu facile (forse) calcolare il lato
di questo nuovo poligono , mediante le equazioni
dell'affinita' potrebbe essere poi possibile calcolare
il lato del poligono di partenza.
Se l'equaqzione dell'ellissi e'( per es.):
x^2/a^2+y^2/b^2=1
le equazioni di una particolare affinita', che trasforma
l'ellissi nella circonferenza di raggio 1
e centro in O(0,0),sono:
x=a*X
y=b*Y.
Naturalmente le mie sono solo ipotesi,tutte da verificare
con calcoli effettivi.
karl.
Karl,
secondo me una trasformazione che "schiacci" o "allunghi" il cerchio facendolo diventare un'ellisse non conserverebbe le distanze;
(per cui un pol. reg. intorno al cerchio non sarebbe più equilatero intorno all'ellisse)
o no?
tony
*** AGGIUNTA A POSTERIORI ***
chiara eccezione è un quadrato "a 45 gradi" circoscritto al cerchio.
cambiando scala alla x e/o alla y diventa un rombo e il rapporto tra i suoi lati non cambia.
penso ciò sia dovuto al fatto che i lati hanno tutti la stessa inclinazione (+); se questa è condiz. necessaria, non vedo altri poligoni regolari che possano soddisfarla.
(lo stesso quadrato, messo "diritto", diventerebbe inevitabilmente un rettangolo)
*Edited by - tony on 29/03/2004 07:20:02
*quote:
Si puo' provare a trasformare,mediante un'affinita',
l'ellisse in una circonferenza ed il poligono
equilatero in un poligono pure equilatero.
...
x=a*X
y=b*Y.
secondo me una trasformazione che "schiacci" o "allunghi" il cerchio facendolo diventare un'ellisse non conserverebbe le distanze;
(per cui un pol. reg. intorno al cerchio non sarebbe più equilatero intorno all'ellisse)
o no?
tony
*** AGGIUNTA A POSTERIORI ***
chiara eccezione è un quadrato "a 45 gradi" circoscritto al cerchio.
cambiando scala alla x e/o alla y diventa un rombo e il rapporto tra i suoi lati non cambia.
penso ciò sia dovuto al fatto che i lati hanno tutti la stessa inclinazione (+); se questa è condiz. necessaria, non vedo altri poligoni regolari che possano soddisfarla.
(lo stesso quadrato, messo "diritto", diventerebbe inevitabilmente un rettangolo)
*Edited by - tony on 29/03/2004 07:20:02
Qualcuno potra' dire che parlo (meglio,scrivo)
col senno di poi,ma mi ero posto anch'io (come
Tony) nel considerare il caso di un rombo
come unico possibile.Questo, visto che anche nel
quesito medesimo si sottolinea l'unicita' della
soluzione.Forse Legolas87 si riferisce ad un
n generico o a che so altro.Alla fine la mia era
solo un'ipotesi di lavoro.
karl.
col senno di poi,ma mi ero posto anch'io (come
Tony) nel considerare il caso di un rombo
come unico possibile.Questo, visto che anche nel
quesito medesimo si sottolinea l'unicita' della
soluzione.Forse Legolas87 si riferisce ad un
n generico o a che so altro.Alla fine la mia era
solo un'ipotesi di lavoro.
karl.
e con questo, karl, abbiamo scartato la via del poligono regolare circoscritto al cerchio.
rimane aperta la questione di eventuali poligoni irregolari circoscritti al cerchio, trasformati in equilateri dall'isomorfismo che produce l'ellisse.
per es. un triangolo isoscele di base b e lato k*b, con opportuno "schiacciamento" del cerchio inscritto diventa equilatero intorno all'ellisse.
e con n > 4^?
intrigante! (non tu, karl, il problema!)
tony
rimane aperta la questione di eventuali poligoni irregolari circoscritti al cerchio, trasformati in equilateri dall'isomorfismo che produce l'ellisse.
per es. un triangolo isoscele di base b e lato k*b, con opportuno "schiacciamento" del cerchio inscritto diventa equilatero intorno all'ellisse.
e con n > 4^?
intrigante! (non tu, karl, il problema!)
tony
un piccolo contributo, anche se forse ovvio, sul triangolo:
sembra che un qualsiasi triangolo isoscele con angolo alla base alfa circoscritto ad un cerchio, se l'asse verticale viene moltiplicato per un fattore b = sqrt(3)/tg(alfa), mentre l'asse orizz. viene lasciato tale e quale (a=1), si trasformi in un tr. equil. circoscritto ad un'ellisse.
semplice pure, anche se non l'ho ancora calcolato, costruire intorno al cerchio due mezzi esagoni simmetrici non regolari con un lato orizz., destinati a trasformarsi in un esagono equil. intorno all'ellisse [ci son sempre di mezzo due (pezzi di) triang. equil.]
mi pare che la trasformaz. cambi così la lunghezza di un segmento inclinato di alfa risp. all'orizzontale:
L'/L = cos(alfa)*sqrt(1+tg^2(atn(b*tg(alfa))))
(ma forse ho sbagliato il calcolo).
questo potrebbe venir buono per arzigogolare calcolando poligoni irregolari da "equilateralizzare" con la trasformaz.
tony
*** AGGIUNTA A POSTERIORI ***
è magra la soddisfazione di aver trovato un primo triangolo intorno al cerchio, convertito dall'affinità in uno equilatero intorno all'ellisse.
e gli altri 9999 (che inviluppano la stessa ellisse e sono di varie dimensioni tra un min. e un max.) come spero di trovarli partendo dal cerchio? con la formuletta che ho tirato fuori qui sopra?
campa cavallo ...
l'affinità , "che ieri ti illuse, che oggi mi illude", la abbandono, concludendo che conviene concentrarsi sull'ellisse.
peccato. piaceva anche a me.
*Edited by - tony on 01/04/2004 06:45:54
sembra che un qualsiasi triangolo isoscele con angolo alla base alfa circoscritto ad un cerchio, se l'asse verticale viene moltiplicato per un fattore b = sqrt(3)/tg(alfa), mentre l'asse orizz. viene lasciato tale e quale (a=1), si trasformi in un tr. equil. circoscritto ad un'ellisse.
semplice pure, anche se non l'ho ancora calcolato, costruire intorno al cerchio due mezzi esagoni simmetrici non regolari con un lato orizz., destinati a trasformarsi in un esagono equil. intorno all'ellisse [ci son sempre di mezzo due (pezzi di) triang. equil.]
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mi pare che la trasformaz. cambi così la lunghezza di un segmento inclinato di alfa risp. all'orizzontale:
L'/L = cos(alfa)*sqrt(1+tg^2(atn(b*tg(alfa))))
(ma forse ho sbagliato il calcolo).
questo potrebbe venir buono per arzigogolare calcolando poligoni irregolari da "equilateralizzare" con la trasformaz.
tony
*** AGGIUNTA A POSTERIORI ***
è magra la soddisfazione di aver trovato un primo triangolo intorno al cerchio, convertito dall'affinità in uno equilatero intorno all'ellisse.
e gli altri 9999 (che inviluppano la stessa ellisse e sono di varie dimensioni tra un min. e un max.) come spero di trovarli partendo dal cerchio? con la formuletta che ho tirato fuori qui sopra?
campa cavallo ...
l'affinità , "che ieri ti illuse, che oggi mi illude", la abbandono, concludendo che conviene concentrarsi sull'ellisse.
peccato. piaceva anche a me.
*Edited by - tony on 01/04/2004 06:45:54
Siamo almeno in due a dispiacerci.
A questo punto mi domando se effettivamente
il problema abbia una soluzione:non vorrei
che stessimo girando attorno ad una questione
che non si sa se e' "insoluta " oppure
"insolubile"!
L'autore del post iniziale che ne dice?
Saluti da karl.
A questo punto mi domando se effettivamente
il problema abbia una soluzione:non vorrei
che stessimo girando attorno ad una questione
che non si sa se e' "insoluta " oppure
"insolubile"!
L'autore del post iniziale che ne dice?
Saluti da karl.
non ho la più pallida idea se questo problema abbia o meno una soluzione. Come vi ho detto, l'ho solo visto in un forum americano e l'ho postato qui. Anche a me era venuta l'idea dell'affinità, ma non sono riuscito ad andare molto in là. Sarebbe carino avere l'opinione di un esperto di geometria (forse Cavia?)
Puoi fornirci il riferimento al forum americano?
più guardo un'ellisse in un triang. equil. più mi mormoro: "3 poli, 3 polari, ..."; ma non so più andare oltre;
qualcuno ha seguito questo sentiero?
tony
qualcuno ha seguito questo sentiero?
tony
Io sono riuscito a dimostrare che il poligono in questione non è affine a nessun poligono regolare; cioè stirando in lungo e in largo e/o ruotando a piacimento un poligono regolare non è possibile ottenere un poligono equilatero che circoscriva un'ellisse. Mi ero addirittura chiesto se esistesse la possibilità di poterlo fare, tuttavia una mezza idea a occhio e naso mi indurrebbe a pensare di si.
Questo problema mi pare interessante, fatemi capire bene: si deve trovare la lunghezza n dei lati di poligono equilatero circoscritto ad un ellisse di assi dati a e b?
Da quanto ho letto e pensato con n=4 la soluzione non è univoca. Forse ho sbagliato i conti, ma nemmeno per n=3 (triangolo equilatero) mi risulta univoca.
WonderP.
Da quanto ho letto e pensato con n=4 la soluzione non è univoca. Forse ho sbagliato i conti, ma nemmeno per n=3 (triangolo equilatero) mi risulta univoca.
WonderP.
il sito è http://www.planetmath.org, ma non riesco a ritrovare il post originale (l'ho visto qualche mese fa!)
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