Ellisse (47175)

[sachiko]

Es 2 Dopo aver rappresentato gracamente nel piano cartesiano l'ellisse di equazio-
ne:
x^2/9+y^2/25= 1;
(a) scrivere il fascio di parabole che passano per i vertici dell'ellisse sull'asse
x;
(b) determinare la parabola del fascio che passa per il fuoco di ordinata
positiva dell'ellisse;
(c) determinare le parabole del fascio i cui fuochi coincidono con i fuochi
dell'ellisse;
(d) determinare le parabole del fascio il cui vertice e contenuto dentro l'ellisse.


vi prego aiutatemiii ...vorrei kapire se ho fatto giusto quindi vi sarei davvero grata se li risolveste kn tt le spiegazioni nel caso in kui io abbia sbagliato grazi emille!!!!!!!!!!!!!

[BIT5]

A) Determinati i punti di intersezione con l'asse x (y=0)

[math] \frac{x^2}{9} + \frac{0}{25}=1 \to x^2=9 \to x= \pm 3 [/math]

Facciamo passare la parabola generica

[math] y=ax^2+bx+c=0 [/math]

per i punti di coordinate

[math] (3,0) e (-3,0) [/math]

[math] \{0=a3^2+b3+c \\ 0=a(-3)^2-3b+c [/math]

e dunque

[math] \{ 0=9a+3b+c \\ 0=9a-3b+c [/math]

[math] \{9a=-3b-c \\ 9a=3b-c [/math]

E quindi, per confronto,

[math] \{-3b-c=3b-c \\ 9a=3b-c [/math]

[math] \{ b=0 \to c=-9a [/math]

Pertanto il fascio sara'

[math] y=ax^2-9a [/math]

Dopotutto era prevedibile che b fosse = 0, perche' la parabola passa per due punti speculari rispetto all'asse y e pertanto ha asse di simmetria sull'asse y, vertice sull'asse y e quindi b=0.

B) Calcoliamo il fuoco di ordinata positiva.

L'ellisse ha i fuochi che giacciono sull'asse y, infatti e'

[math] b^2>a^2 [/math]

I fuochi pertanto avranno coordinate (0,c) e (0,-c), dove c e':

[math] c= \sqrt{b^2-a^2} = \sqrt{25-9}= \sqrt{16}= \pm 4 [/math]

Il fuoco di interesse sara' dunque F(0,4) e la parabola del fascio passante per quel punto sara'

[math] 4=a0^2-9a \to a=- \frac49 [/math]

E dunque la parabola sara'

[math] y=- \frac49x^2-4 [/math]

C) I fuochi dell'ellisse sono 2 e pertanto 2 saranno le parabole che dovremo trovare:

Ribadendo che il vertice giace sull'asse y, dal momento che l'ascissa del fuoco della parabola e' sempre uguale a quella del vertice, dovremo solo imporre che l'ordinata del fuoco sia rispettivamente 4 in un caso e -4 nell'altro.

E dunque sara'

[math] y_F= \frac{1- \Delta}{4a}=4 \to 1- \Delta=16a \to \\ \to 1-(-4(a)(-9a))=16a \to 36a^2+16a-1=0 [/math]

Risolvendo (con la ridotta) avremo

[math] a_{1,2}= \frac{-8 \pm \sqrt{64+36}}{36} \to a= \frac{8 \pm sqrt{100}}{36}= \frac{-4 \pm 5}{18} [/math]

E dunque a= - 1/2 oppure a=1/18
Sostituendo, trovi le parabole.

Mentre per l'altro fuoco avremo

[math] 1- \Delta = -16a \to -1+36a^2-16a=0 [/math]

E dunque

[math] a= \frac{8 \pm \sqrt{100}}{36} \to a= \frac12 \ \ \ \ a=- \frac{1}{18} [/math]

Ovvero le due speculari alle precedenti

D) Le parabole del fascio il cui vertice e' contenuto all'interno dell'ellisse, ribadendo che hanno tutte ascissa del vertice = 0, sono quelle che avranno rodinata compresa tra -5 e 5, ovvero i punti estremi dell'ellisse (che trovi per x=0)

Si trattera' pertanto di risolvere la disequazione

[math] -5 \le y_V \le 5 [/math]

Ovvero

[math] -5 \le - \frac{\Delta}{4a} \le 5 [/math]

che si traduce nel sistema (siccome b=0)

[math] \{ - \frac{-4ac}{4a} \ge -5 \\ - \frac{-4ac}{4a} \le 5 [/math]

E dunque

[math] \{-9a \ge -5 \\ -9a \le 5 [/math]

E dunque

[math] a \le \frac59 \ U \ a \ge - \frac59 [/math]

E quindi in conclusione

[math] - \frac59 \le a \le \frac59 [/math]

ovviamente con

[math] a \ne 0 [/math]

.