Ellisse
Per cortesia ho bisogno di aiuto,come faccio a trovare i vertici del retttangolo inscritto nell'ellisse x^2 + 9y - 18 =0 con i lati parelleli agli assi di area 12?
Risposte
Per prima cosa scaricati il programma per scrivere e leggere decentemente le formule, altrimenti rischi di non capire le spiegazioni che ti forniamo; clicca qui:
http://www.dessci.com/en/dl/MathPlayerSetup.asp
Poi scriviti l'equazione in forma canonica, e correggi la traccia che sicuramente sarà
$x^2+9y^2-18=0$
Quindi diventa:
$x^2/18+y^2/2=1$
da cui ricavi che
$a=3sqrt2$ e $b=sqrt2$
Poi fai il disegno e comincia a ragionarci su.
http://www.dessci.com/en/dl/MathPlayerSetup.asp
Poi scriviti l'equazione in forma canonica, e correggi la traccia che sicuramente sarà
$x^2+9y^2-18=0$
Quindi diventa:
$x^2/18+y^2/2=1$
da cui ricavi che
$a=3sqrt2$ e $b=sqrt2$
Poi fai il disegno e comincia a ragionarci su.
Per calcolare i vertici, essendo i lati paralleli agli assi, intersechiamo l'equazione dell'ellisse
$x^2+9y^2-18=0$ con l'equazione della retta parallela alle ascisse $y=k$
Vista la simmetria dell'ellisse, allora i vertici saranno simmetrici rispetto agli assi coordinati, per cui è conveniente ragionare solo per $k>=0$. Con tale scelta i vertici nel semipiano $y>0$ saranno
$A=(-sqrt(18-9k^2),k)$, $B=(+sqrt(18-9k^2),k)$
e per simmetria gli altri due vertici nel semipiano $y<0$ saranno:
$C=(-sqrt(18-9k^2),-k)$, $D=(+sqrt(18-9k^2),-k)$
L'area del rettangolo sarà:
Area=$AB*AC$
Ora $AB=2sqrt(18-9k^2)$ ed $AC=2k$
Imponendo che $4ksqrt(18-9k^2)=12$ e cioè $12ksqrt(2-k^2)=12$ si trova:
$ksqrt(2-k^2)=1$ .
Ovviamente deve aversi che $18-9k^2>=0$ e cioè $-sqrt(2)<=k<=sqrt(2)$ che con la condizione $k>=0$ supposta all'inizio, impone la condizione finale su $k$: $0<=k<=sqrt(2)$.
Ora elevando al quadrato ambo i membri dell'equazione $ksqrt(2-k^2)=1$ si ha:
$k^4-2k^2+1=0$ cioè $(k^2-1)^2=0$ da cui $k=+-1$ da cui solo $k=1$ è accettabile dal momento che soddisfa la condizione $0<=k<=sqrt(2)$.
Per cui i vertici del rettangolo saranno:
$A=(-3,1)$
$B=(3,1)$
$C=(-3,-1)$
$D=(3,-1)$
$x^2+9y^2-18=0$ con l'equazione della retta parallela alle ascisse $y=k$
Vista la simmetria dell'ellisse, allora i vertici saranno simmetrici rispetto agli assi coordinati, per cui è conveniente ragionare solo per $k>=0$. Con tale scelta i vertici nel semipiano $y>0$ saranno
$A=(-sqrt(18-9k^2),k)$, $B=(+sqrt(18-9k^2),k)$
e per simmetria gli altri due vertici nel semipiano $y<0$ saranno:
$C=(-sqrt(18-9k^2),-k)$, $D=(+sqrt(18-9k^2),-k)$
L'area del rettangolo sarà:
Area=$AB*AC$
Ora $AB=2sqrt(18-9k^2)$ ed $AC=2k$
Imponendo che $4ksqrt(18-9k^2)=12$ e cioè $12ksqrt(2-k^2)=12$ si trova:
$ksqrt(2-k^2)=1$ .
Ovviamente deve aversi che $18-9k^2>=0$ e cioè $-sqrt(2)<=k<=sqrt(2)$ che con la condizione $k>=0$ supposta all'inizio, impone la condizione finale su $k$: $0<=k<=sqrt(2)$.
Ora elevando al quadrato ambo i membri dell'equazione $ksqrt(2-k^2)=1$ si ha:
$k^4-2k^2+1=0$ cioè $(k^2-1)^2=0$ da cui $k=+-1$ da cui solo $k=1$ è accettabile dal momento che soddisfa la condizione $0<=k<=sqrt(2)$.
Per cui i vertici del rettangolo saranno:
$A=(-3,1)$
$B=(3,1)$
$C=(-3,-1)$
$D=(3,-1)$
ti ringrazio molto per la chiarezza, ti invidio.
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