Elisse (58582)
non capisco il procedimento del mio libro
determiniamo le equazioni delle rette tangenti all'elisse di equazione
condotte dal punto
subito dopo utilizza "l'equazione risolvente"(o almeno lui la chiama così)
ma da quali elementi è composta questa formula?
determiniamo le equazioni delle rette tangenti all'elisse di equazione
[math]\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{3}=1[/math]
condotte dal punto
[math]P(0,2)[/math]
e dal suo punto [math]Q[/math]
di ascissa [math]1[/math]
e ordinata positivasubito dopo utilizza "l'equazione risolvente"(o almeno lui la chiama così)
[math](3+5m^2)x^2+20mx+5=0[/math]
ma da quali elementi è composta questa formula?
Risposte
Il fascio di rette di centro P e' della forma
Che sostituito all'ellisse dara'
E quindi
Minimo Comune Multiplo
E dunque
Da cui raccogli le x
Che e' l'equazione risolvente di cui parla il problema.
Le soluzioni dell'equazione (parametrica) di secondo grado, saranno, a seconda del delta, 2, 2coincidenti (ovvero 1) o nessuna.
Se Delta > 0 avrai 2 soluzioni, ovvero due valori di x che risolvono l'equazione, ovvero due ascisse diverse di due punti diversi e quindi le rette saranno secanti;
Se Delta < 0 nessuna soluzione, dunque le rette saranno esterne;
Se Delta = 0 allora due ascisse coincidenti e quindi retta/e tangente/i
Siccome il coefficiente di x (ovvero 20m) e' pari, uso la ridotta
Che si annulla per
Che sostituiti al fascio
Daranno le due rette
Dimmi se hai dubbi
[math] y-y_P=m(x-x_P) \to y-2=mx \to y=mx+2 [/math]
Che sostituito all'ellisse dara'
[math] \frac{x^2}{5}+ \frac{(mx+2)^2}{3}=1 [/math]
E quindi
[math] \frac{x^2}{5}+ \frac{m^2x^2+4mx+4}{3}=1 [/math]
Minimo Comune Multiplo
[math] \frac{3x^2+5m^2x^2+20mx+20}{15}= \frac{15}{15} [/math]
E dunque
[math] 3x^2+5m^2x^2+20mx+5=0[/math]
Da cui raccogli le x
[math] (3+5m^2)x^2+20mx+5=0 [/math]
Che e' l'equazione risolvente di cui parla il problema.
Le soluzioni dell'equazione (parametrica) di secondo grado, saranno, a seconda del delta, 2, 2coincidenti (ovvero 1) o nessuna.
Se Delta > 0 avrai 2 soluzioni, ovvero due valori di x che risolvono l'equazione, ovvero due ascisse diverse di due punti diversi e quindi le rette saranno secanti;
Se Delta < 0 nessuna soluzione, dunque le rette saranno esterne;
Se Delta = 0 allora due ascisse coincidenti e quindi retta/e tangente/i
Siccome il coefficiente di x (ovvero 20m) e' pari, uso la ridotta
[math] \frac{Delta}{4}= (10m)^2-(3+5m^2)(5) = 100m^2-15-25m^2 = 75m^2-15=15(5m^2-1) [/math]
Che si annulla per
[math] 5m^2=1 \to m^2= \frac15 \to m= \pm \frac{ \sqrt{5}}{5} [/math]
Che sostituiti al fascio
[math] y=mx-2 [/math]
Daranno le due rette
[math] y= \frac{\sqrt5}{5}x-2 \\ y=- \frac{\sqrt5}{5}x-2 [/math]
Dimmi se hai dubbi