Elisse (58582)

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non capisco il procedimento del mio libro

determiniamo le equazioni delle rette tangenti all'elisse di equazione
[math]\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{3}=1[/math]

condotte dal punto
[math]P(0,2)[/math]
e dal suo punto
[math]Q[/math]
di ascissa
[math]1[/math]
e ordinata positiva
subito dopo utilizza "l'equazione risolvente"(o almeno lui la chiama così)
[math](3+5m^2)x^2+20mx+5=0[/math]

ma da quali elementi è composta questa formula?

Risposte
BIT5
Il fascio di rette di centro P e' della forma

[math] y-y_P=m(x-x_P) \to y-2=mx \to y=mx+2 [/math]


Che sostituito all'ellisse dara'

[math] \frac{x^2}{5}+ \frac{(mx+2)^2}{3}=1 [/math]


E quindi

[math] \frac{x^2}{5}+ \frac{m^2x^2+4mx+4}{3}=1 [/math]


Minimo Comune Multiplo

[math] \frac{3x^2+5m^2x^2+20mx+20}{15}= \frac{15}{15} [/math]


E dunque

[math] 3x^2+5m^2x^2+20mx+5=0[/math]


Da cui raccogli le x

[math] (3+5m^2)x^2+20mx+5=0 [/math]


Che e' l'equazione risolvente di cui parla il problema.

Le soluzioni dell'equazione (parametrica) di secondo grado, saranno, a seconda del delta, 2, 2coincidenti (ovvero 1) o nessuna.

Se Delta > 0 avrai 2 soluzioni, ovvero due valori di x che risolvono l'equazione, ovvero due ascisse diverse di due punti diversi e quindi le rette saranno secanti;

Se Delta < 0 nessuna soluzione, dunque le rette saranno esterne;

Se Delta = 0 allora due ascisse coincidenti e quindi retta/e tangente/i

Siccome il coefficiente di x (ovvero 20m) e' pari, uso la ridotta

[math] \frac{Delta}{4}= (10m)^2-(3+5m^2)(5) = 100m^2-15-25m^2 = 75m^2-15=15(5m^2-1) [/math]


Che si annulla per
[math] 5m^2=1 \to m^2= \frac15 \to m= \pm \frac{ \sqrt{5}}{5} [/math]


Che sostituiti al fascio

[math] y=mx-2 [/math]


Daranno le due rette

[math] y= \frac{\sqrt5}{5}x-2 \\ y=- \frac{\sqrt5}{5}x-2 [/math]


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