Elevamento a potenza di equazione goniometrica

[Phoenix23]

Buongiorno a tutti.
Ho un quesito sulla seguente equazione goniometrica:
$ sin x=-sin (x/2) $

Sul mio libro è risolta attraverso una serie di passaggi che non fanno uso di radicali o elevamenti a potenza, che sono anche abbastanza chiari.

Quello che mi chiedo è se è possibile elevare al quadrato entrambi i membri dell'equazione e quali solo le condizioni da impostare. In generale quando è possibile elevare al quadrato entrambi i membri di un'equazione?

[sellacollesella]

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[@melia]

Puoi lavorare come ti ha detto sellacollesella, oppure imporre la concordanza dei segni delle due basi della potenza che, in questo caso, è $sinx*(-sin (x/2))>=0$

[sellacollesella]

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[Phoenix23]

Ok, quindi se ho capito bene è sempre possibile elevare al quadrato entrambi i membri di una equazione al fine di risolverla. La conseguenza è di trovare oltre alle soluzioni che verificano l'equazione di partenza, anche delle soluzioni che non la verificano.

Per scartare queste ultime, o lo proviamo tutte nell'equazione di partenza, o impostiamo delle condizioni che ci permettono di scartarle a priori le soluzioni che non la verificano.

Se è così rimane da chiarire un ultimo dubbio. E' sempre possibile trovare delle condizioni per scartare le soluzioni in più, o ci sono casi in cui dobbiamo per forza provare soluzione per soluzione nell'equazione di partenza?

Vi ringrazio tutti, siete stati di grande aiuto.

[sellacollesella]

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[Martino]

È semplice: elevi al quadrato i membri dell'equazione A ottenendo un'equazione B, risolvi B e trovi una lista di soluzioni di B. Ogni soluzione di A è soluzione di B (e il viceversa non vale necessariamente). Sostituisci le soluzioni di B nell'equazione A e scarti tutte le soluzioni di B che non sono soluzioni di A. Quelle che ti rimangono sono tutte e sole le soluzioni di A.

Detto questo, in questo caso particolare conviene usare $sin(2y)=2sin(y)cos(y)$ con $y=x/2$.