Elementi primi in $ZZ$
Sia $p inZZ$ un elemento primo. Dimostrare che se $p$ divide un prodotto di $a_1a_2...a_n$ fattori, allora $p$ divide almeno uno dei fattori.
Allora, per ipotesi $p$ è primo, e $p|a_1a_2...a_n$ usando la definizione, si ha che:
$p|a_1veep|a_2vee...veep|a_n$ dunque $p$ divide almeno uno dei fattori.
È corretto?
Allora, per ipotesi $p$ è primo, e $p|a_1a_2...a_n$ usando la definizione, si ha che:
$p|a_1veep|a_2vee...veep|a_n$ dunque $p$ divide almeno uno dei fattori.
È corretto?
Risposte
Qual è la definizione che usi?
'sia $ainZZ$ un elemento che non sia uno zero o un'unità, allora si dice primo ogni volta che se $a$ divide un prodotto di fattori, allora $a$ divide almeno uno dei fattori'
in questo caso si suppone che $p$ sia primo, dunque se $p$ divide quel prodotto, essendo primo, dovrà dividere almeno uno dei fattori.
in questo caso si suppone che $p$ sia primo, dunque se $p$ divide quel prodotto, essendo primo, dovrà dividere almeno uno dei fattori.
C'è qualcosa che non mi torna.
Questa è la definizione:
e questo è l'esercizio:
Come vedi, non c'è nulla da dimostrare, è già tutto nella definizione. Insomma, è un esercizio inutile.
E' come dire:
Definizione: un numero pari è un numero intero che è divisibile per $2$.
Esercizio: si dimostri che un numero pari è divisibile per $2$.
Solitamente, la definizione di numero primo è:
"$p in ZZ - {0,1,-1}$ tale che per ogni $a,b in ZZ$ si ha $p | a* b => p|a vv p|b$".
Con questa definizione, la dimostrazione dell'esercizio è più interessante. Si può fare ad esempio per induzione sul numero dei fattori.
Questa è la definizione:
"anto_zoolander":
'sia $ainZZ$ un elemento che non sia uno zero o un'unità, allora si dice primo ogni volta che se $a$ divide un prodotto di fattori, allora $a$ divide almeno uno dei fattori'
e questo è l'esercizio:
"anto_zoolander":
Sia $p inZZ$ un elemento primo. Dimostrare che se $p$ divide un prodotto di $a_1a_2...a_n$ fattori, allora $p$ divide almeno uno dei fattori.
Come vedi, non c'è nulla da dimostrare, è già tutto nella definizione. Insomma, è un esercizio inutile.
E' come dire:
Definizione: un numero pari è un numero intero che è divisibile per $2$.
Esercizio: si dimostri che un numero pari è divisibile per $2$.
Solitamente, la definizione di numero primo è:
"$p in ZZ - {0,1,-1}$ tale che per ogni $a,b in ZZ$ si ha $p | a* b => p|a vv p|b$".
Con questa definizione, la dimostrazione dell'esercizio è più interessante. Si può fare ad esempio per induzione sul numero dei fattori.
Non ti torna la definizione, o l'esercizio?
La definizione. Se è quella che dici tu, l'esercizio non ha senso.
Infatti ho sbagliato io, un secondo che mi correggo e dimostro diversamente.
Ho dimenticato che la definizione vale solo se considero il prodotto di due fattori.
Procedo allora così:
$p|a_1a_2...a_n$ procedo per induzione su $n$
$n=2$ ho la def. di numero primo: $p|a_1a_2 => p|a_1veep|a_2$ dunque questa sarà la mia hp. induttiva.
$p|a_1a_2...a_na_(n+1)$
la scrivo come $p|a_1(a_2...a_(n+1)) => p|a_1veep|a_2...a_(n+1)$
ora $p|a_2(a_3...a_n) => p|a_2veep|a_3...a_(n+1)$
dunque giungo a: $p|a_1veep|a_2veep|a_3...a_(n+1)$
uso la ipotesi induttiva: $p|a_1a_2...a_nveep|a_3a_4...a_(n+1)$
Ora qui mi verrebbe da dire che la dimostrazione è terminata
Anche se forse sarebbe stato meglio fare:
$p|(a_1...a_n)a_(n+1) => p|a_1...a_nveep|a_(n+1)$
Avevo supposto vero che se $p$ dividesse un prodotto di $n$ fattori, allora $p$ divideva uno di loro, dunque $p$ divide quel prodotto oppure divide $a_(n+1)$.
Nel caso in cui $p$ non dividesse $a_(n+1)$ la proposizione sarebbe comunque vera poiché per ipotesi $p$ divide almeno uno dei fattori di $a_1a_2...a_n$
Spero sia corretto.
Ho dimenticato che la definizione vale solo se considero il prodotto di due fattori.
Procedo allora così:
$p|a_1a_2...a_n$ procedo per induzione su $n$
$n=2$ ho la def. di numero primo: $p|a_1a_2 => p|a_1veep|a_2$ dunque questa sarà la mia hp. induttiva.
$p|a_1a_2...a_na_(n+1)$
la scrivo come $p|a_1(a_2...a_(n+1)) => p|a_1veep|a_2...a_(n+1)$
ora $p|a_2(a_3...a_n) => p|a_2veep|a_3...a_(n+1)$
dunque giungo a: $p|a_1veep|a_2veep|a_3...a_(n+1)$
uso la ipotesi induttiva: $p|a_1a_2...a_nveep|a_3a_4...a_(n+1)$
Ora qui mi verrebbe da dire che la dimostrazione è terminata
Anche se forse sarebbe stato meglio fare:
$p|(a_1...a_n)a_(n+1) => p|a_1...a_nveep|a_(n+1)$
Avevo supposto vero che se $p$ dividesse un prodotto di $n$ fattori, allora $p$ divideva uno di loro, dunque $p$ divide quel prodotto oppure divide $a_(n+1)$.
Nel caso in cui $p$ non dividesse $a_(n+1)$ la proposizione sarebbe comunque vera poiché per ipotesi $p$ divide almeno uno dei fattori di $a_1a_2...a_n$
Spero sia corretto.
"anto_zoolander":No, non è l'ipotesi induttiva. Questo è il passo base.
$n=2$ ho la def. di numero primo: $p|a_1a_2 => p|a_1veep|a_2$ dunque questa sarà la mia hp. induttiva.
Mmm.. dove sbaglio? Supponendo vera la proposizione per un generico prodotto di $n$ fattori, a seguito del passo base?
Il passo base è $P(2): p|a_1a_2 => p|a_1veep|a_2$
L'ipotesi induttiva di cui parlo è $P(n): p|a_1a_2...a_n$ dove $p$ divide almeno uno dei fattori.
Il passo base è $P(2): p|a_1a_2 => p|a_1veep|a_2$
L'ipotesi induttiva di cui parlo è $P(n): p|a_1a_2...a_n$ dove $p$ divide almeno uno dei fattori.
Provo a spiegare meglio la situazione.
Definizione: $p in ZZ - {0,1,-1}$ è detto primo se per ogni $a,b in ZZ$ si ha $p |a* b => p|a vv p|b$.
L'insieme dei numeri primi si indica con $\mathbb{P}$.
Teorema: $AA n in NN$ $AA p in \mathbb{P}$ $AA a_1,...,a_n in ZZ$ si ha $p| a_1 * ...*a_n => p|a_1 vv ...vv p|a_n$.
Dimostrazione: per induzione su $n in NN$.
Passo base: $n=1$. Devo dimostrare che $AA p in mathbb{P}$ $AA a_1 in ZZ$ si ha $p|a_1 => p|a_1$.
Ma questo è immediato (infatti è sempre vero che $A => A$).
Passo induttivo: sia $n>=1$.
Ipotesi induttiva: $AA p in \mathbb{P}$ $AA a_1,...,a_n in ZZ$ si ha $p| a_1 * ...*a_n => p|a_1 vv ... vv p|a_n$.
Tesi induttiva: $AA p in \mathbb{P}$ $AA a_1,...,a_n,a_{n+1} in ZZ$ si ha $p| a_1 * ...*a_n*a_{n+1} => p|a_1 vv ...vv p|a_n vv p| a_{n+1}$.
Dimostrazione: prendiamo $p in mathbb{P}$ e $a_1,...,a_n,a_{n+1} in ZZ$ generici.
Per comodità poniamo $a:=a_1*...*a_n$ (ovviamente $a in ZZ)$.
Se $p| a_1*...*a_n*a_{n+1}$ allora $p| a* a_{n+1}$, dunque, per definizione di numero primo, $p|a vv p|a_{n+1}$.
Ma allora $p|a_1*...*a_n vv p|a_{n+1}$. Grazie all'ipotesi induttiva si ha $p| a_1 vv... vv p|a_n vv p|a_{n+1}$, che è proprio la tesi induttiva.
Fine.
Definizione: $p in ZZ - {0,1,-1}$ è detto primo se per ogni $a,b in ZZ$ si ha $p |a* b => p|a vv p|b$.
L'insieme dei numeri primi si indica con $\mathbb{P}$.
Teorema: $AA n in NN$ $AA p in \mathbb{P}$ $AA a_1,...,a_n in ZZ$ si ha $p| a_1 * ...*a_n => p|a_1 vv ...vv p|a_n$.
Dimostrazione: per induzione su $n in NN$.
Passo base: $n=1$. Devo dimostrare che $AA p in mathbb{P}$ $AA a_1 in ZZ$ si ha $p|a_1 => p|a_1$.
Ma questo è immediato (infatti è sempre vero che $A => A$).
Passo induttivo: sia $n>=1$.
Ipotesi induttiva: $AA p in \mathbb{P}$ $AA a_1,...,a_n in ZZ$ si ha $p| a_1 * ...*a_n => p|a_1 vv ... vv p|a_n$.
Tesi induttiva: $AA p in \mathbb{P}$ $AA a_1,...,a_n,a_{n+1} in ZZ$ si ha $p| a_1 * ...*a_n*a_{n+1} => p|a_1 vv ...vv p|a_n vv p| a_{n+1}$.
Dimostrazione: prendiamo $p in mathbb{P}$ e $a_1,...,a_n,a_{n+1} in ZZ$ generici.
Per comodità poniamo $a:=a_1*...*a_n$ (ovviamente $a in ZZ)$.
Se $p| a_1*...*a_n*a_{n+1}$ allora $p| a* a_{n+1}$, dunque, per definizione di numero primo, $p|a vv p|a_{n+1}$.
Ma allora $p|a_1*...*a_n vv p|a_{n+1}$. Grazie all'ipotesi induttiva si ha $p| a_1 vv... vv p|a_n vv p|a_{n+1}$, che è proprio la tesi induttiva.
Fine.
Ho capito il mio errore:
Intanto sono partito da $n=2$ precludendo $n=1$.
Poi ho sbagliato a chiamare ipotesi induttiva ciò che fosse il passo induttivo.
Cioè il passo induttivo mi portava a considerare l'ipotesi induttiva che la proposizione fosse vera per un generico $ninNN$
Il fatto è che ho sbagliato a sotto-intenderlo
Erro?
Intanto sono partito da $n=2$ precludendo $n=1$.
Poi ho sbagliato a chiamare ipotesi induttiva ciò che fosse il passo induttivo.
Cioè il passo induttivo mi portava a considerare l'ipotesi induttiva che la proposizione fosse vera per un generico $ninNN$
Il fatto è che ho sbagliato a sotto-intenderlo
Erro?
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