Elementi del triangolo di tartaglia

[gygabyte017]

   0  1  2  3  4  5  6
0  1
1  1  1
2  1  2  1
3  1  3  3  1
4  1  4  6  4  1
5  1  5 10 10  5  1
6  1  6 15 20 15  6  1

Ciao a tutti, provando e riprovando a ragionare sul triangolo di tartaglia sono arrivato alla conclusione che, ogni elemento alla riga $n$ e alla colonna $k$ (dove gli indici cominciano entrambi da zero) è:



$e_(n,k)=((n),(k))$

So che magari già lo sanno tutti, ma non l'ho letto da nessuna parte... è giusto?

[Principe2]

certo che è giusto!

prova a sommare i numeri di una stessa riga.. guarda un pò che succede!

[gygabyte017]

viene $2^n$ !

quindi sarebbe: $sum_(k=0)^n ((n),(k)) = 2^n$ ?

[Camillo]

"gygabyte017"::shock: viene $2^n$ !

quindi sarebbe: $sum_(k=0)^n ((n),(k)) = 2^n$ ?

Esatto !!
Infatti la formula del Binomio di Newton è :

$(a+b)^n = sum_(k=0)^n((n),(k))a^(n-k)b^k $

Nel tuo caso $a=b=1 $ .

[gygabyte017]

wow che bello stasera ne ho scoperta una nuova! Mica la sapevo la relazione tra tartaglia e i coefficienti binomiali....

[elgiovo]

Può essere interessante tirare in ballo "l'identità della mazza da hockey":
a questo punto è facile mostrare che $((r),(r))+((r+1),(r))+((r+2),(r))+ldots+((f),(r))=((f+1),(r+1))$.

[Fioravante Patrone1]

@gygabyte017
sono contento per te, è così bello scoprire da soli le cose
continua cosi!
ciao

[gygabyte017]

"Fioravante Patrone":è così bello scoprire da soli le cose

è vero! però invece di divagare dovrei farmi i temi della maturità visto che mi tocca tra 4 giorni... ma mentre mi esercitavo stavo facendo un binomio alla settima, per farlo mi sono scritto tartaglia e invece di risolvere il quesito m'è venuta l'idea di trovare la regola x gli elementi

[Cheguevilla]

Può essere interessante tirare in ballo "l'identità della mazza da hockey":
a questo punto è facile mostrare che $((r),(r))+((r+1),(r))+((r+2),(r))+ldots+((f),(r))=((f+1),(r+1))$.

Da dove deriva il termine "identità della mazza da hockey?
Io ho sempre conosciuto le due proprietà dei coefficienti binomiali come Formula di Stifel e Formula di Vandermonde.

[elgiovo]

Sostituendo qualche valore ed evidenziando sul triangolo i coefficienti
ottenuti sarà chiaro il perchè di questa simpatica denominazione.