$e^(ipi)+1=0$
Come da titolo:
$e^(ipi)+1=0$
o
$e^(ipi)=-1$
è dimostrabile con la radice o con il logaritmo? Ad esempio:
$root(ipi)(-1)=e$ ?
$log_e -1=(ipi)$ ?
RSVP
andrew
$e^(ipi)+1=0$
o
$e^(ipi)=-1$
è dimostrabile con la radice o con il logaritmo? Ad esempio:
$root(ipi)(-1)=e$ ?
$log_e -1=(ipi)$ ?
RSVP
andrew
Risposte
"elgiovo":
Questa definizione viene da MathWorld, sicuramente più autorevole:
Let $theta$ be an angle measured counterclockwise from the x-axis along the arc of the unit circle.
Then $costheta$ is the horizontal coordinate of the arc endpoint. As a result of this definition, the cosine
function is periodic with period $2pi$.
Segue: The definition of the cosine function can be extended to complex arguments z using the definition
$cosz=1/2(e^(iz)+e^(-iz))$, che suffraga la tua tesi. Tuttavia la mia perplessità rimane.
Il problema con queste definizioni (peraltro perfettamente lecite) e' che esse dipendono dalla teoria della misura degli angoli, la quale, sorprendentemente, presenta non pochi aspetti delicati (vedi per esempio Berger, Geometry I, oppure il Bourbaki, che risolve il problema in maniera originale usando i gruppi ad un parametro); se vogliamo che siano del tutto rigorose, la mole di lavoro richiesta e' comunque assai piu' grande di quella che e' necessaria per introdurre la funzione esponenziale.
A ogni modo la scrivo la dimostrazione con le serie (ieri sono stato un po' pigro 
)...
$e^z=sum_(n=0)^(+oo)z^n/(n!), z in CC$
e la serie converge incondizionatamente.
Per la convergenza incondizionata allora posso scrivere, senza ambiguità:
$e^z= sum_(n in NN_0)z^n/(n!)$
inoltre, ripartendo $NN_0 = P cup D$ nell'insieme dei pari e dei dispari si può affermare:
$e^z=sum_(k in P)z^k/(k!)+sum_(h in D)z^h/(h!)$
In particolare, per $z$ immaginario puro, è $z=iy$, sostituendo:
$e^(iy)=sum_(k in P)(i^k*y^k)/(k!)+sum_(h in D)(i^h*y^h)/(h!)$
che per note proprietà di $i$ è:
$e^(iy)=sum_(k in P)((-1)^(k/2)*y^k)/(k!)+sum_(h in D)(i*(-1)^((h-1)/2)*y^h)/(h!)$
e posto $k=2p, h=2r+1$
$e^iy=sum_(p in NN_0)((-1)^p*y^(2p))/((2p)!) + i*sum_(r in NN_0)((-1)^h*y^(2r+1))/((2r+1)!)$
e ricordando gli sviluppi in serie di coseno e seno
$e^iy=cos y + i sin y$
)...$e^z=sum_(n=0)^(+oo)z^n/(n!), z in CC$
e la serie converge incondizionatamente.
Per la convergenza incondizionata allora posso scrivere, senza ambiguità:
$e^z= sum_(n in NN_0)z^n/(n!)$
inoltre, ripartendo $NN_0 = P cup D$ nell'insieme dei pari e dei dispari si può affermare:
$e^z=sum_(k in P)z^k/(k!)+sum_(h in D)z^h/(h!)$
In particolare, per $z$ immaginario puro, è $z=iy$, sostituendo:
$e^(iy)=sum_(k in P)(i^k*y^k)/(k!)+sum_(h in D)(i^h*y^h)/(h!)$
che per note proprietà di $i$ è:
$e^(iy)=sum_(k in P)((-1)^(k/2)*y^k)/(k!)+sum_(h in D)(i*(-1)^((h-1)/2)*y^h)/(h!)$
e posto $k=2p, h=2r+1$
$e^iy=sum_(p in NN_0)((-1)^p*y^(2p))/((2p)!) + i*sum_(r in NN_0)((-1)^h*y^(2r+1))/((2r+1)!)$
e ricordando gli sviluppi in serie di coseno e seno
$e^iy=cos y + i sin y$
"Tipper":
Correzione: correzzione --> correzione.
Si scherza eh.
???
Per zorn.
$mathbb{N}_0$ significa che $0$ è incluso o escluso?
Chiedo perché a me hanno insegnato che $mathbb{N}_0$ esclude $0$.
$mathbb{N}_0$ significa che $0$ è incluso o escluso?
Chiedo perché a me hanno insegnato che $mathbb{N}_0$ esclude $0$.
Era una battuta...
"andrew.cgs":
correzzione: e^(i (thetha)) --> e^(i theta) ($e^ (i theta)$).
saluti
"Tipper":
Correzione: correzzione --> correzione.
Si scherza eh.
"WiZaRd":
Per zorn.
$mathbb{N}_0$ significa che $0$ è incluso o escluso?
Chiedo perché a me hanno insegnato che $mathbb{N}_0$ esclude $0$.
Incluso, ovviamente!
(mi sono permesso di rispondere io)
Thanks.
P.S.: ma che scuola ho fatto fino ad ora???!!! 
P.S.: ma che scuola ho fatto fino ad ora???!!!
Non è una convenzione universale quella di indicare con $\mathbb{N}_0$ l'insieme dei naturali comprendente lo zero... Io ho sempre incontrato la notazione che hai incontrato tu.
Allora vuol dire che devo fare l'abitudine alla possibilità di due diversi utilizzi della stessa notazione.
Thanks.
Thanks.
E' vero, la convenzione non è del tutto uniforme (anche perché 0 in teoria degli insiemi è considerato numero naturale, però lì il loro insieme si indica con $omega$). In ogni caso intendevo $NN_0=NN cup {0} = {0,1,2,...}$
OK. Sta bbene (come dice il mio ex prof di Filosofia al mio ex Liceo 
)
)
"WiZaRd":
Allora vuol dire che devo fare l'abitudine alla possibilità di due diversi utilizzi della stessa notazione.
Thanks.
mi sa proprio di si':
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 653#168653
Professsore, ora è ancor più chiaro cosa voleva dire in quel post.
Mi scuso se faccio domande che potrebbero essere evitate
Mi scuso se faccio domande che potrebbero essere evitate
"WiZaRd":
Per zorn.
$mathbb{N}_0$ significa che $0$ è incluso o escluso?
Chiedo perché a me hanno insegnato che $mathbb{N}_0$ esclude $0$.
A essere sincero, anche a me hanno insegnato che è escluso.
Paolo
Proprio non so che dire, effettivamente dalla teoria degli insiemi (come dall'assiomatica di Peano) emerge che 0 deve essere considerato naturale in quanto punto di partenza necessario a costruirne l'insieme... sicuramente la notazione $omega$ non presenta ambiguità in quanto $O\ = 0 in omega$
"zorn":
Proprio non so che dire, effettivamente dalla teoria degli insiemi (come dall'assiomatica di Peano) emerge che 0 deve essere considerato naturale in quanto punto di partenza necessario a costruirne l'insieme...
Questo pero' non e' esatto...
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