$e^(ipi)+1=0$
Come da titolo:
$e^(ipi)+1=0$
o
$e^(ipi)=-1$
è dimostrabile con la radice o con il logaritmo? Ad esempio:
$root(ipi)(-1)=e$ ?
$log_e -1=(ipi)$ ?
RSVP
andrew
$e^(ipi)+1=0$
o
$e^(ipi)=-1$
è dimostrabile con la radice o con il logaritmo? Ad esempio:
$root(ipi)(-1)=e$ ?
$log_e -1=(ipi)$ ?
RSVP
andrew
Risposte
Segue banalmente dall'identita' $e^{ix} = cosx + i sinx$...
Io so che si dimostra $e^{i \theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)$ utilizzando gli sviluppi di MacLaurin di seno, coseno, esponenziale e sfruttando le proprietà di $i$. Una volta dimostrata tale formula, è immediato vedere che $e^{i \pi} = -1$.
Io non conosco altre vie...
Io non conosco altre vie...
"Tipper":
Io so che si dimostra $e^{i \theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)$ utilizzando gli sviluppi di MacLaurin di seno, coseno, esponenziale e sfruttando le proprietà di $i$. Una volta dimostrata tale formula, è immediato vedere che $e^{i \pi} = -1$.
Io non conosco altre vie...
Piu' semplicemente, si possono definire $\cos \theta$ e $\sin \theta$ come la parte reale e il coefficiente dell'unita' immaginaria di $e^{i \theta}$, rispettivamente.
"Sandokan.":
[quote="Tipper"]Io so che si dimostra $e^{i \theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)$ utilizzando gli sviluppi di MacLaurin di seno, coseno, esponenziale e sfruttando le proprietà di $i$. Una volta dimostrata tale formula, è immediato vedere che $e^{i \pi} = -1$.
Io non conosco altre vie...
Piu' semplicemente, si possono definire $\cos \theta$ e $\sin \theta$ come la parte reale e il coefficiente dell'unita' immaginaria di $e^{i \theta}$, rispettivamente.[/quote]
Oltre alla dimostrazione citata da Tipper, ne esiste una basata su una particella in movimento.
Comunque non sono d'accordo con te, Sandokan. Perchè definire, quando è possibile dimostrare?
Essa discende dall'identità
$e^(i*theta)=cos(theta)+i*sin(theta)$
per $theta=pi$.
L'identità si dimostra o sviluppando in serie di Taylor nel campo complesso l'esponenziale e sfruttando proprietà formali di $i$ nonché la convergenza incondizionata (strumenti che probabilmente non conosci) oppure definendo in maniera assiomatica le funzioni trigonometriche (precisamente una funzione e l'associata) e provando che le funzioni $f(x)=(e^(ix)-e^(-ix))/2i; g(x)=(e^(ix)+e^(-ix))/2$ soddisfano tali assiomi.
Tali assiomi sono (Tannery):
$f,g in C^0 (RR)$
$f(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y), AA x,y in RR$
$g(x+y)=g(x)g(y)-f(x)f(y), AA x,y in RR$
$lim_(x to 0) (f(x)/x)=1$
$e^(i*theta)=cos(theta)+i*sin(theta)$
per $theta=pi$.
L'identità si dimostra o sviluppando in serie di Taylor nel campo complesso l'esponenziale e sfruttando proprietà formali di $i$ nonché la convergenza incondizionata (strumenti che probabilmente non conosci) oppure definendo in maniera assiomatica le funzioni trigonometriche (precisamente una funzione e l'associata) e provando che le funzioni $f(x)=(e^(ix)-e^(-ix))/2i; g(x)=(e^(ix)+e^(-ix))/2$ soddisfano tali assiomi.
Tali assiomi sono (Tannery):
$f,g in C^0 (RR)$
$f(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y), AA x,y in RR$
$g(x+y)=g(x)g(y)-f(x)f(y), AA x,y in RR$
$lim_(x to 0) (f(x)/x)=1$
"zorn":
$f(x)=(e^(ix)-e^(-ix))/2i.
Curiosità: la $i$ non dovrebbe andare sotto?
Certo, la $i$ va sotto, zorn avrà commesso un errore di battitura (si è dimenticato le parentesi a denominatore probabilmente).
Ah, ok.
Ho chiesto perchè non sapevo di questo giochino per dimostrare la famosa identità (non sapevo nemmeno che si dimostrasse con Taylor); ho provato il giochino e con la $i$ là non mi tornavano i conti.
Ho chiesto perchè non sapevo di questo giochino per dimostrare la famosa identità (non sapevo nemmeno che si dimostrasse con Taylor); ho provato il giochino e con la $i$ là non mi tornavano i conti.
Certo, la i va sotto, zorn avrà commesso un errore di battitura (si è dimenticato le parentesi a denominatore probabilmente).
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Maledizione dimentico sempre le parentesi!
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Maledizione dimentico sempre le parentesi!
"elgiovo":
[quote="Sandokan."][quote="Tipper"]Io so che si dimostra $e^{i \theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)$ utilizzando gli sviluppi di MacLaurin di seno, coseno, esponenziale e sfruttando le proprietà di $i$. Una volta dimostrata tale formula, è immediato vedere che $e^{i \pi} = -1$.
Io non conosco altre vie...
Piu' semplicemente, si possono definire $\cos \theta$ e $\sin \theta$ come la parte reale e il coefficiente dell'unita' immaginaria di $e^{i \theta}$, rispettivamente.[/quote]
Oltre alla dimostrazione citata da Tipper, ne esiste una basata su una particella in movimento.
Comunque non sono d'accordo con te, Sandokan. Perchè definire, quando è possibile dimostrare?[/quote]
In qualche modo si dovranno pur definire il seno ed il coseno, no? E secondo me quella da me proposta e' una delle definizioni piu' semplici...
Seno e coseno si definiscono geometricamente.
"elgiovo":
Seno e coseno si definiscono geometricamente.
Che significa geometricamente?
Riporto la dicitura di Wikipedia:
"Dato un triangolo rettangolo, il coseno (o abbreviato cos) di uno dei due angoli interni adiacenti all'ipotenusa è definito come il rapporto tra le lunghezze del cateto adiacente all'angolo e dell'ipotenusa".
Per geometricamente intendo questo. La mia perplessità verso quello che dici l'ho espressa in precedenza:
perchè definire seno e coseno, quando, data la definizione di Wikipedia (mi rendo conto che la fonte non è così attendibile...),
è possibile dimostrare che $rho e^(i theta)=rho(cos theta+ i sin theta)$?
"Dato un triangolo rettangolo, il coseno (o abbreviato cos) di uno dei due angoli interni adiacenti all'ipotenusa è definito come il rapporto tra le lunghezze del cateto adiacente all'angolo e dell'ipotenusa".
Per geometricamente intendo questo. La mia perplessità verso quello che dici l'ho espressa in precedenza:
perchè definire seno e coseno, quando, data la definizione di Wikipedia (mi rendo conto che la fonte non è così attendibile...),
è possibile dimostrare che $rho e^(i theta)=rho(cos theta+ i sin theta)$?
Questa definizione viene da MathWorld, sicuramente più autorevole:
Let $theta$ be an angle measured counterclockwise from the x-axis along the arc of the unit circle.
Then $costheta$ is the horizontal coordinate of the arc endpoint. As a result of this definition, the cosine
function is periodic with period $2pi$.
Segue: The definition of the cosine function can be extended to complex arguments z using the definition
$cosz=1/2(e^(iz)+e^(-iz))$, che suffraga la tua tesi. Tuttavia la mia perplessità rimane.
Let $theta$ be an angle measured counterclockwise from the x-axis along the arc of the unit circle.
Then $costheta$ is the horizontal coordinate of the arc endpoint. As a result of this definition, the cosine
function is periodic with period $2pi$.
Segue: The definition of the cosine function can be extended to complex arguments z using the definition
$cosz=1/2(e^(iz)+e^(-iz))$, che suffraga la tua tesi. Tuttavia la mia perplessità rimane.
Una domanda per Sandokan. e zorn.
Ma state definenedo le funzioni seno e coseno allo stesso modod?
Lo chiedo perchè la definizione assiomatica di zorn mi pare uguale uguale a quella di Sandokan.
Ma state definenedo le funzioni seno e coseno allo stesso modod?
Lo chiedo perchè la definizione assiomatica di zorn mi pare uguale uguale a quella di Sandokan.
Beh a me invece sembra proprio di no...
Zorn definisce il seno e il coseno geometricamente un po' come ha detto Elgiovo e poi dimostra la formula di Eulero.
Sandokan definisce seno e coseno attraverso la stessa formula di Eulero...
Riassumendo:
- In modo euristico si possono definire seno e coseno geometricamente. La formula di Eulero si può provare dopo che si è mostrato con argomentazioni di geometria analitica che le funzioni seno e coseno sono derivabili indefinitamente e, con gli strumenti dell'analisi, che seno e coseno hanno un loro sviluppo di Taylor ecc ecc (quello che ha detto Tipper).
- Formalmente prima si definisce la funzione esponenziale complessa come la funzione $CC -> CC$ per cui:
$e^z=sum_{n=0}^{+oo} (z^n)/(n!)$
E poi si possono definire $cos theta$ e $sin theta$ come la parte reale e il coefficiente dell'unita' immaginaria di $e^(i theta)$, rispettivamente, come ha detto Sandokan.
Vabbè post inutile... ciao
Zorn definisce il seno e il coseno geometricamente un po' come ha detto Elgiovo e poi dimostra la formula di Eulero.
Sandokan definisce seno e coseno attraverso la stessa formula di Eulero...
Riassumendo:
- In modo euristico si possono definire seno e coseno geometricamente. La formula di Eulero si può provare dopo che si è mostrato con argomentazioni di geometria analitica che le funzioni seno e coseno sono derivabili indefinitamente e, con gli strumenti dell'analisi, che seno e coseno hanno un loro sviluppo di Taylor ecc ecc (quello che ha detto Tipper).
- Formalmente prima si definisce la funzione esponenziale complessa come la funzione $CC -> CC$ per cui:
$e^z=sum_{n=0}^{+oo} (z^n)/(n!)$
E poi si possono definire $cos theta$ e $sin theta$ come la parte reale e il coefficiente dell'unita' immaginaria di $e^(i theta)$, rispettivamente, come ha detto Sandokan.
Vabbè post inutile... ciao
correzzione: e^(i (thetha)) --> e^(i theta) ($e^ (i theta)$).
saluti
saluti
Correzione: correzzione --> correzione.
Si scherza eh.
Si scherza eh.
Io ho definito assiomaticamente seno e coseno.
Si vede che con gli assiomi che ho dato si possono dimostrare tutte le proprietà di cui godono tali funzioni definite in maniera tradizionale, geometrica, come rapporto costante tra cateto opposto (risp. adiacente) e ipotenusa di un triangolo rettangolo di angolo x e poi prolungate per periodicità;
ovvero posso provare formule di prostaferesi, duplicazione etc...
Per una scelta particolare di funzioni complesse f,g che ho dato invece posso provare la formula di eulero.
Si vede che con gli assiomi che ho dato si possono dimostrare tutte le proprietà di cui godono tali funzioni definite in maniera tradizionale, geometrica, come rapporto costante tra cateto opposto (risp. adiacente) e ipotenusa di un triangolo rettangolo di angolo x e poi prolungate per periodicità;
ovvero posso provare formule di prostaferesi, duplicazione etc...
Per una scelta particolare di funzioni complesse f,g che ho dato invece posso provare la formula di eulero.
OK.
Capì. Grazie a tutti per i chiarimenti.
Capì. Grazie a tutti per i chiarimenti.
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