Eccentricità e direttrice dell'ellisse

[rosa munda]

Buonasera. Nel mio libro di testo apprendo che l'eccentricità è il rapporto costante $e$ tra la distanza di un punto P dell'ellisse dal fuoco dell'ellisse ($c,0$) e la distanza dello stesso punto dalla retta direttrice D ( $x=a^2/c$ ) .

Non sono riuscita a capire perchè la direttrice sia quella retta D. Ho provato fare il rapporto tra la distanza del fuoco ($x-c$) e la distanza del "vertice" $a$ cioè ($x-a$) ma non arrivo a trovare il valore $a^2/c$.


$(x-c)/(x-a) = e$
$x=ex-ea+c$
$x(1-e)=(-c/a)a$
$x=(-c)/(a-c/a)$
$x=-(ca)/(a-c)$


Mi potreste svelare come si determina allora la retta direttrice?
Grazie di un aiuto.

[Indrjo Dedej]

Premesso che non sapevo che l'ellisse avesse qualche "direttrice" - nel senso della parabola, intendo - non ho capito alcune cose.

"rosa munda":
Non sono riuscita a capire perchè la direttrice sia quella retta D. Ho provato fare il rapporto tra la distanza del fuoco ($x-c$) e la distanza del "vertice" $a$ cioè ($x-a$) ma non arrivo a trovare il valore $a^2/c$.

Distanze da chi? Rileggi il testo.

La direttrice ti viene data, non la devi trovare, o almeno così ho capito io da quello che hai scritto.

Ps: ricordati questo viewtopic.php?f=11&t=189573.

[rosa munda]

Ciao - in effetti nel copia-incolla mi sono mangiata una parte del testo e non ho riletto come si deve.
L'eccentricita' viene data dal rapporto costante tra le distanze di un punto P (appartenente all'ellisse) dal fuoco e dalla retta (direttrice) (che viene indicata con l'espressione $(x=a^2/c) $.
Per fare la mia prova ho assunto come punto dell'ellisse il vertice destro (punto (a,0) (semiasse maggiore).
Spero di essermi espressa bene.
Grazie

[Indrjo Dedej]

Ecco, calcolati le distanze che vengono tirate in ballo. Trovi la distanza di un generico (!) $P=(x,y)$ dal fuoco $(0,c)$ come indicato in quel link ($=a-ex$). La distanza di $P$ dalla direttrice è semplice da trovare. E arrivi facilmente al fatto che il rapporto tre queste due distanze è proprio $e$.

[rosa munda]

Ciao - ho allegato una immagine dove si parla della direttrice e del suo valore $x=a^2/c$.
Spero sia allegata in modo corretto.

Credo di aver capito il tuo suggerimento, ma se non sbaglio esso mi dimostrerà che effettivamente il rapporto è pari a $ e $.

Tuttavia la mia domanda iniziale era volta a capire come è stata ricavata la formula della famosa direttrice $x=a^2/c$ e per farlo ho assunto come punto qualsiasi dell'ellisse quello che mi sembrava più facile per mettere in evidenza la x da cui ricavare la formula cercata: ho calcolato quindi la distanza del punto A dalla retta ($x-a$) e del fuoco ($x-c$) ; il loro rapporto deve
essere pari a $e$ cioè $c/a$; ma non sono riuscita a ricavare la x indicata come valore della direttrice. Non so dove ho commesso l'errore : se nel calcolo oppure se nell'ipotesi.
Grazie mille.

[Indrjo Dedej]

Ok, avevo capito che tu volevi dimostrare l'asserzione del libro. Invece vuoi ricavare l'equazione della direttrice. In tutta sincerità io non sapevo nemmeno dell'esistenza di questa direttrice dell'ellisse. Come si fa a ricavare? Non lo so. Magari definendo l'ellisse in questa maniera - non so se questa definizione esista da qualche parte, ma mi sembra aver senso in virtù di quanto ho scoperto (grazie, rosa munda) durante questa discussione -

Data una retta $d$, che chiamiamo direttrice, e un punto $C \notin d$, detto fuoco, un'ellisse è il luogo dei punti $P$ del piano per cui \[\frac{\bar{PC}}{\text{dist}(P,d)}=e\] con $0

e facendo molti calcoli noiosi si può arrivare a dire l'equazione della direttrice in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale. Oppure: che definizione dà il tuo libro di ellisse, che definizione dà alla direttrice? Devi guardare lì. A questo punto del testo che mi hai segnalato non ha senso chiedersi sul come mai quella equazione, dovrebbe essere stata trattata qualche paragrafo prima... Mentre dovrebbe aver senso chiedersi se è vero che quel rapporto sia proprio $e$. Secondo me.

==========

Prendiamo l'equazione che hai risolto all'inizio - adesso ho più o meno capito quello che vuoi -: c'è un errore nell'equazione da cui parti, si ha\[\frac{a-c}{x-a}=e \ .\] Tuttavia resto sempre un po' scettico su questo approccio che hai deciso di intraprendere.

[rosa munda]

Prego - Grazie anche a te.
Il mio libro di testo affronta la questione in un piccolo paragrafo nell'ambito della lezione sull'ellisse e non da' alcun cenno sulla definizione di quella funzione della retta (che lui però non chiama direttrice). Ho provato quindi a cercare qualcosa sulla rete e l'unico che ho trovato parlare di quella funzione è quello che ho allegato. Anche in questo caso ho cercato una qualche definizione ... ma nulla. E questo mi appare molto strano!
Per quanto riguarda la tua definizione .... ebbene mi ha dato l'opportunità di notare dove ho commesso un errore in partenza (ho confuso $a$ con $x$) e quindi dovevo partire con : $ (a-c) / (x-a) = e $
E risolvendo scopro infatti molto facilmente che effettivamente $x=a^2/c$ c.v.d. Eureka.
Grazie! GRAZIE!

[Indrjo Dedej]

Ho cercato sui libri dell'anno scorso sull'ellisse, ma niente direttrici o cose simili. Su google nemmeno l'ombra. Non so, bho. Usando la definizione che ho proposto io ("improvvisata", quindi non garantisco chissà ché) e con non pochi crivelli mentali arrivi all'equazione della direttrice. Ma ci arrivi avendo definito l'ellisse in funzione di una direttrice e di un punto (che poi è uno dei suoi fuochi). Certo, ci si può arrivare anche con la definizione "classica" di ellisse, ma si dovrebbe prima provare l'esistenza di una siffatta retta e poi ricavarne l'equazione.

[@melia]

"Indrjo Dedej":Su google nemmeno l'ombra.

Ho digitato su google ellisse direttrice e questo è quello che mi esce
primo https://digilander.libero.it/scaroselli ... lisse1.htm
terzo https://www.lucamoroni.it/ellisse-dimos ... irettrice/
e in fondo alla prima pagina ho wikipedia https://it.wikipedia.org/wiki/Direttrice

[Indrjo Dedej]

Ho cercato "ellisse", sono andato sul più generico possibile sperando di trovare qulacosa, anche il minimo indizio. Ma si vede che non so cercare bene o non ho avuto pazienza di spulciare tutti quei risultati. In uno di quei link c'è anche la definizione che ho proposto io. Sono contento di esserci arrivato di mio.

[@melia]

infatti non sono intervenuta prima perché mi sembravi ben orientato e i tuoi ragionamenti mi parevano un buon esercizio per te e per rosa munda.

[Indrjo Dedej]

Ecco, queste cose sono interessanti infatti, il fatto di giocare con la teoria, di smontarla - o di provarci - e di cambiare l'approccio, magari variando le definizioni e seguendo un altra via... Una cosa del genere portata scuola potrebbe avere qualche effetto, spero positivo. Oppure gli studenti sarebbero invogliati a odiare di più la matematica?

[axpgn]

La seconda che hai detto