Due serie

[indovina]

Ciao a tutti

Ho queste due serie, che ho risolto ma vorrei che ci date una occhiata:

[math]nlog((n+2)/n)=n*log(1+2/n)=n*2/n[/math]

è divergente

[math]((2^n)+n)/((3^n)+1)=((2^n)/((3^n)+1))+n/((3^n)+1)[/math]

[math](2/3)^n[/math]

converge

[math](n)/(3^n)=n(1/3)^n[/math]

converge

la serie converge

non sono sicurissima su ciò che ho fatto, mi farebbero piacere dei 'chiarimenti'.

grazie in anticipo

[ciampax]

Ma sono serie o limiti di successioni? Se sono serie, non capisco sinceramente che tipo di "criteri" tu stia cercando di utilizzare! Ad esempio per la prima hai

[math]\sum_{n=1}^{+\infty} n\cdot\log\left(1+\frac{1}{n}\right).[/math]

Ora il termine generale si può riscrivere come

[math]n\cdot\log\left(1+\frac{1}{n}\right)=\log\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/math]

e il suo limite per

[math]n\to+\infty[/math]

vale

[math]\log e=1[/math]

per cui la serie non converge (quello che hai scritto tu, con quella specie di confronto asintotico, non ha senso!)

[indovina]

ah...ecco
quindi usare il confronto asintotico qui, non va per niente...

per la seconda cosa mi suggerisci?

comunque, si sono serie, e devo trovare il loro carattere.

[ciampax]

Nel secondo caso hai

[math]a_n=\frac{2^n+n}{3^n+1}=\frac{2^n\left(1+n/2^n\right)}{3^n\left(1+1/3^n\right)}\to \left(\frac{2}{3}\right)^n\to 0[/math]

quindi la serie potrebbe convergere. Se applichi il criterio della radice ottieni

[math]\lim_{n\to+\infty} \sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to+\infty} \frac{2}{3}\cdot\frac{1+n/2^n}{1+1/3^n}=\frac{2}{3}

[indovina]

quindi in particolare

[math]1/3^n ->0

n/2^n ->0[/math]

[math](2/3)^n[/math]

è una serie geometrica di ragione

[math]+oo[/math]

[math]n^1/n[/math]

è

[math]1[/math]

?

[ciampax]

Esatto a tutte le domande. Una cosa: guardavo la tua frase e mi chiedevo: esti romanca? :asd

[indovina]

Off-topic
No, non sono rumena, ma ho imparato il romeno per due anni di seguito e tuttora cerco di impararlo, insieme ad altre lingue dell'est (russo specialmente)

[ciampax]

:asd Bene! Qui posso chiudere?

[indovina]

Si, grazie per l'aiuto.
:)

[ciampax]

Chiudo.