Due quesiti per le vacanze
Visto che nessuno propone degli esercizi in questo forum
(come è giusto che sia!!), propongo io due quesiti,
anche se sicuramente nessuno li farà!!
il primo è stato dato quest'anno nella sessione suppletiva dei licei scientifici ed è su www.matmedia.it:
1)È dato un trapezio rettangolo, in cui le bisettrici degli angoli adiacenti al lato obliquo si intersecano in un punto del lato perpendicolare alle basi.
Dimostrare che il triangolo avente per vertici questo punto e gli estremi del lato obliquo è rettangolo e trovare quale relazione lega il lato obliquo alle basi del trapezio.
2)In un piano si hanno 100 rette, supponendo che non esistano
coppie di rette parallele o coincidenti e che nei punti di intersezione si incontrino solo due rette,in quante regioni limitate o no viene diviso il piano?
SUGGERIMENTO: indicare con r(n) il numero di regioni individuate nel
piano da n rette e trovare una formula ricorrente per r(n)..
(come è giusto che sia!!), propongo io due quesiti,
anche se sicuramente nessuno li farà!!
il primo è stato dato quest'anno nella sessione suppletiva dei licei scientifici ed è su www.matmedia.it:
1)È dato un trapezio rettangolo, in cui le bisettrici degli angoli adiacenti al lato obliquo si intersecano in un punto del lato perpendicolare alle basi.
Dimostrare che il triangolo avente per vertici questo punto e gli estremi del lato obliquo è rettangolo e trovare quale relazione lega il lato obliquo alle basi del trapezio.
2)In un piano si hanno 100 rette, supponendo che non esistano
coppie di rette parallele o coincidenti e che nei punti di intersezione si incontrino solo due rette,in quante regioni limitate o no viene diviso il piano?
SUGGERIMENTO: indicare con r(n) il numero di regioni individuate nel
piano da n rette e trovare una formula ricorrente per r(n)..
Risposte
Non vorrei sbagliare ma il secondo quesito mi sembra simile a quello delle fette di torta. Con 100 rette (tagli) si dovrebbero avere 5051 regioni limitate (fette). Ho utilizzato la seguente formula:
1) sappiamo che la somma degli angoli adiacenti al lato obliquo è 180° (perchè angoli coniugati interni...); poiche sappiamo che il triangolo è formato dalle due bisettrici e dal lato obliquo, sappiamo anche che gli angoli del triangolo adiacenti al lato obliquo sono ognuno la metà degli angoli adiacenti al lato del trapezio...pertanto essendo la somma di questi ultimi 180°, la somma dei due angoli del triangolo è esattamente la metà, ovvero 90°; poichè in un triangolo la somma degli angoli interni è 180°, ne deriva che l' angolo restante del triangolo è necessariamente di 90°, per cui il triangolo è rettangolo...
per la seconda parte del problema a dopo....
ciao
per la seconda parte del problema a dopo....
ciao
rieccomi!
per il secondo punto, è meglio chiamare l il lato oliquo, b la base minore e B la base maggiore...allora, sopra ho dimostrato che il triangolo cercato è rettangolo...ma c'è di più...questo triangolo è simile a quelli in cui viene diviso il trapezio (infatti il trapezio, facendo la costruzione richiesta, viene diviso in tre triangoli: uno che è quello di cui ci siamo occupati fino ad adesso, gli altri due, sono quelli delimitati rispettivamente dalla base maggiore una bisettrice, e dalla base minore e l' altra bisettrice); osservando questi ultimi due triangoli, si nota che anch' essi sono rettangoli (ognuno "sfrutta" un angolo retto del trapezio...), e inoltre hanno un angolo congruente al triangolo rettangolo che ha per ipotenusa il lato obliquo...pertanto, avendo due angoli congruenti, avranno anche il terzo congruente, e sono quindi simili...a questo punto si può impostare una proporzione fra i triangoli, in modo da ottenere una relazione fra B e l, o fra b e l:
(chiamo s e r le bisettrici, s si riferisce al triangolo di cateto B, r a quello di cateto b)
B/s=s/l e
b/r=r/l da cui
B*l=s^2 e b*l=r^2
spero di aver fatto giusto, è da un sacco di tempo che non tocco più un libro di matematica (un libro di scuola intendo...)
ciao
per il secondo punto, è meglio chiamare l il lato oliquo, b la base minore e B la base maggiore...allora, sopra ho dimostrato che il triangolo cercato è rettangolo...ma c'è di più...questo triangolo è simile a quelli in cui viene diviso il trapezio (infatti il trapezio, facendo la costruzione richiesta, viene diviso in tre triangoli: uno che è quello di cui ci siamo occupati fino ad adesso, gli altri due, sono quelli delimitati rispettivamente dalla base maggiore una bisettrice, e dalla base minore e l' altra bisettrice); osservando questi ultimi due triangoli, si nota che anch' essi sono rettangoli (ognuno "sfrutta" un angolo retto del trapezio...), e inoltre hanno un angolo congruente al triangolo rettangolo che ha per ipotenusa il lato obliquo...pertanto, avendo due angoli congruenti, avranno anche il terzo congruente, e sono quindi simili...a questo punto si può impostare una proporzione fra i triangoli, in modo da ottenere una relazione fra B e l, o fra b e l:
(chiamo s e r le bisettrici, s si riferisce al triangolo di cateto B, r a quello di cateto b)
B/s=s/l e
b/r=r/l da cui
B*l=s^2 e b*l=r^2
spero di aver fatto giusto, è da un sacco di tempo che non tocco più un libro di matematica (un libro di scuola intendo...)
ciao
mi sembra tutto giusto, anche se però io ho inteso che il testo
richiede una relazione che coivolga solo il lato obliquo e le basi
del trapezio
quindi forse l'esercizio si può completare cosi:
l^2 = s^2 + r^2 = B*l + b*l
dividendo tutto per l si ottiene
l = B + b
AMMESSO CHE QUALCUNO SIA INTERESSATO
SUL SITO www.matmedia.it
é STATA PUBBLICATA LA SESSIONE STRAORDINARIA 2005 DI MATEMATICA
richiede una relazione che coivolga solo il lato obliquo e le basi
del trapezio
quindi forse l'esercizio si può completare cosi:
l^2 = s^2 + r^2 = B*l + b*l
dividendo tutto per l si ottiene
l = B + b
AMMESSO CHE QUALCUNO SIA INTERESSATO
SUL SITO www.matmedia.it
é STATA PUBBLICATA LA SESSIONE STRAORDINARIA 2005 DI MATEMATICA
@piera
avevo fatto 30 e non ho fatto 31...[:D][:D]
avevo fatto 30 e non ho fatto 31...[:D][:D]
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