Due piccole disequazioni fratte

[stefano166]

(x-4)(x+2) / x(x^2+1) >= 0

(x)/x-3 + (7x+4)/(x-3)^2 < 0

[carlogiannini]

La prima è già fattorizzata, quindi basta porre TUTTI i fattori >= 0, calcolare dove sono positivi e negativi e poi applicare la regola dei segni (più per più, più per meno ecc).
Quindi:

[math]x-4\ge 0\\x+2\ge 0\\x>0\\x^2+1>0\\[/math]

.
Come vedi i due fattori al denominatore li ho posti >0 proprio perché sono al denominatore e DEVONO essere DIVERSI DA ZERO.
Risolvendo

[math]x\ge 4\\x\ge -2\\x>0\\x^2>-1\ . \ [SEMPRE\ VERO]\\[/math]

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Ora facciamo un grafico riportando per ogni fattore DOVE è POSITIVO con una linea continua e DOVE è NEGATIVO con una linea tratteggiata. I punti COMPRESI li indicò con un grosso punto, quelli ESCLUSI li smarco con una croce.
Nel grafico che ti allego non ho disegnato la linea corrispondente al fattore che è SEMPRE POSITIVO.
come vedi, in questo modo si trovano TUTTI i segni della frazione, quindi anche se il problema chiede di trovare dove è negativa io procedo sempre nello stesso modo, solo alla fine prendo gli intervalli NEGATIVI.
Fammi sapere se sono stato chiaro.
Carlo