Due equazioni letterali di secondo grado: discussione del parametro.
Ciao a tutti,
studiando le equazioni di secondo grado letterali a volte temo di non considerare correttamente tutti i casi possibili al variare dei parametri, per questo ho scelto due equazioni che desidero sottoporvi concentrandomi sulla discussione del parametro:
1) $1/(2a)-2bx(1/(2a)-x)=x$
Riscritta in forma tipica:
$4abx^2-x(2b+2a)+1=0$
Ora la discussione, vincolata dalla C.E.: $ane0$:
$cdot$ Se $b=0^^ane0$ allora otteniamo una equazione di primo grado: $-x(2a)+1=0$ quindi $x=1/(2a)$
$cdot$ Se $2a+2b=0$ ovvero $a=-b$ otteniamo una equazione spuria: $4ab^2x^2-1=0$ quindi
$x=sqrt(1/(4ab^2)) vee x=-sqrt(1/(4ab^2))$
Qui dovrei specificare $bne0$ ma dal momento che sto considerando $a=-b$ se fosse $b=0$ allora avrei $a=0$, non ammissibile per le C.E.
$cdot$ Se $ane0 ^^ bne0^^ane-b$ allora l'equazione di secondo grado è completa.
----------------------------------------------------------------------------------------------------
2) $(a^2+b^2)x=(b^2-a^2)ab-x^2$
Riscritta in forma tipica:
$x^2+(a^2+b^2)x-ab(b^2-a^2)=0$
$cdot$ Se $a=0^^b=0$ si ottiene $ x^2=0$ quindi $x=0$
$cdot$ Se $ a=0^^bne0$ si ottiene $ x^2+b^2x=0$ quindi $ x(x+b^2)=0$ quindi $ x=0 vee x=-b^2$
$cdot$ Se $ane0^^b=0$ il caso è analogo al precedente ma con $ x=0 vee x=-a^2$
$cdot$ Se $ a=b$ otteniamo $ x^2+2b^2x$ quindi $ x=0 vee x=-2b^2$
$cdot$ Se $ aneb^^ane0^^bne0$ l'equazione è completa.
In entrambe le discussioni le condizioni magari possono essere scritte in modo più compatto ma, in generale, vanno bene?
studiando le equazioni di secondo grado letterali a volte temo di non considerare correttamente tutti i casi possibili al variare dei parametri, per questo ho scelto due equazioni che desidero sottoporvi concentrandomi sulla discussione del parametro:
1) $1/(2a)-2bx(1/(2a)-x)=x$
Riscritta in forma tipica:
$4abx^2-x(2b+2a)+1=0$
Ora la discussione, vincolata dalla C.E.: $ane0$:
$cdot$ Se $b=0^^ane0$ allora otteniamo una equazione di primo grado: $-x(2a)+1=0$ quindi $x=1/(2a)$
$cdot$ Se $2a+2b=0$ ovvero $a=-b$ otteniamo una equazione spuria: $4ab^2x^2-1=0$ quindi
$x=sqrt(1/(4ab^2)) vee x=-sqrt(1/(4ab^2))$
Qui dovrei specificare $bne0$ ma dal momento che sto considerando $a=-b$ se fosse $b=0$ allora avrei $a=0$, non ammissibile per le C.E.
$cdot$ Se $ane0 ^^ bne0^^ane-b$ allora l'equazione di secondo grado è completa.
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2) $(a^2+b^2)x=(b^2-a^2)ab-x^2$
Riscritta in forma tipica:
$x^2+(a^2+b^2)x-ab(b^2-a^2)=0$
$cdot$ Se $a=0^^b=0$ si ottiene $ x^2=0$ quindi $x=0$
$cdot$ Se $ a=0^^bne0$ si ottiene $ x^2+b^2x=0$ quindi $ x(x+b^2)=0$ quindi $ x=0 vee x=-b^2$
$cdot$ Se $ane0^^b=0$ il caso è analogo al precedente ma con $ x=0 vee x=-a^2$
$cdot$ Se $ a=b$ otteniamo $ x^2+2b^2x$ quindi $ x=0 vee x=-2b^2$
$cdot$ Se $ aneb^^ane0^^bne0$ l'equazione è completa.
In entrambe le discussioni le condizioni magari possono essere scritte in modo più compatto ma, in generale, vanno bene?
Risposte
Se procedi così è chiaro che qualcosa puoi perderti...
Provo a raccontarti come svolgerei io la prima.
Innanzitutto, impongo tutte le condizioni che devono soddisfare i parametri affinché l'equazione abbia senso: in questo caso trovo solo:
$a != 0$.
Ciò mi dice che $a$ non può prendere mai il valore $0$, mentre $b$ può variare liberamente nei reali, cioè il C.E. della mia equazione è $a,b in RR ^^ a != 0$.
Poi riduco tutto in forma normale, che è intera perché non ci sono incognite al denominatore: procedendo come hai fatto tu, trovo:
$4abx^2 - 2(a+b)x + 1 = 0$.
Dopodiché, controllo quando l'equazione è effettivamente di secondo grado, ossia quando non si annulla il coefficiente di $x^2$.
Evidentemente ciò accade solo se $b != 0$ ed in tal caso metto in moto tutta la procedura standard: calcolo il discriminante ridotto (perché il coefficiente del termine di primo grado $x$ è divisibile esattamente per $2$!):
$Delta/4 = (a+b)^2 - 4ab = a^2 +2ab + b^2 -4ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a+b)^2$
e mi accorgo subito che esso è sempre $>= 0$ e si annulla solo per $b=a$.
Quindi si può sempre usare la formula risolutiva (ridotta!) per ottenere le soluzioni:
$x = ((a+b) +- sqrt((a-b)^2))/(4ab)\ =>\ x = ((a+b) +- |a-b|)/(4ab)$
(in cui poi, se vuoi/devi, vai a discutere il valore assoluto); nel caso particolare $b=a$, in cui $Delta/4 = 0$, questa fornisce due soluzioni coincidenti in:
$x=(a+b)/(4ab)=(2a)/(4a^2) \=>\ x = 1/(2a)$.
L'unico caso che è rimasto fuori dall'analisi è $a!= 0 ^^ b = 0$.
In tal caso, sostituendo il valore di $b$ nell'equazione ottengo un'equazione di primo grado parametrica, cioè:
$-2ax + 1 = 0$
la quale ha unica soluzione (perché $a != 0$ per C.E.) in:
$x = 1/(2a)$.
Alla fine dei conti, torna utile riassumere i risultati in una semplice tabella.
Ho stabilito che:
\[
\begin{matrix}
\text{Condizioni su } a: & \text{Condizioni su } b: & \text{Equazione di:} & \text{Soluzioni:} & \text{Valori:}\\
a \neq 0 & b \neq 0 \land b \neq a & \text{2° grado} & \text{due distinte} & x = \frac{a+b \pm |a-b|}{4ab} \\
a \neq 0 & b=a & \text{2° grado} & \text{due coincidenti} & x = \frac{1}{2a} \\
a \neq 0 & b = 0 & \text{1° grado} & \text{unica} & x = \frac{1}{2a}
\end{matrix}
\]
dalla quale desumo di aver esaminato tutti i casi possibili, perché leggendo le colonne delle $"Condizioni su " a$ e $"Condizioni su " b$ si vede che tutti i casi possibili per $a$ e tutti i casi possibili per $b$ sono stati vagliati.
Se volessi aggiungere più dettaglio, potrei discutere quel valore assoluto nelle soluzioni.
Dato che $a - b > 0$ solo se $b < a$ (N.B.: scelgo $b$ come incognita, visto che il parametro $a$ è quello che fisso prima...), ottengo:
Provo a raccontarti come svolgerei io la prima.
Innanzitutto, impongo tutte le condizioni che devono soddisfare i parametri affinché l'equazione abbia senso: in questo caso trovo solo:
$a != 0$.
Ciò mi dice che $a$ non può prendere mai il valore $0$, mentre $b$ può variare liberamente nei reali, cioè il C.E. della mia equazione è $a,b in RR ^^ a != 0$.
Poi riduco tutto in forma normale, che è intera perché non ci sono incognite al denominatore: procedendo come hai fatto tu, trovo:
$4abx^2 - 2(a+b)x + 1 = 0$.
Dopodiché, controllo quando l'equazione è effettivamente di secondo grado, ossia quando non si annulla il coefficiente di $x^2$.
Evidentemente ciò accade solo se $b != 0$ ed in tal caso metto in moto tutta la procedura standard: calcolo il discriminante ridotto (perché il coefficiente del termine di primo grado $x$ è divisibile esattamente per $2$!):
$Delta/4 = (a+b)^2 - 4ab = a^2 +2ab + b^2 -4ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a+b)^2$
e mi accorgo subito che esso è sempre $>= 0$ e si annulla solo per $b=a$.
Quindi si può sempre usare la formula risolutiva (ridotta!) per ottenere le soluzioni:
$x = ((a+b) +- sqrt((a-b)^2))/(4ab)\ =>\ x = ((a+b) +- |a-b|)/(4ab)$
(in cui poi, se vuoi/devi, vai a discutere il valore assoluto); nel caso particolare $b=a$, in cui $Delta/4 = 0$, questa fornisce due soluzioni coincidenti in:
$x=(a+b)/(4ab)=(2a)/(4a^2) \=>\ x = 1/(2a)$.
L'unico caso che è rimasto fuori dall'analisi è $a!= 0 ^^ b = 0$.
In tal caso, sostituendo il valore di $b$ nell'equazione ottengo un'equazione di primo grado parametrica, cioè:
$-2ax + 1 = 0$
la quale ha unica soluzione (perché $a != 0$ per C.E.) in:
$x = 1/(2a)$.
Alla fine dei conti, torna utile riassumere i risultati in una semplice tabella.
Ho stabilito che:
\[
\begin{matrix}
\text{Condizioni su } a: & \text{Condizioni su } b: & \text{Equazione di:} & \text{Soluzioni:} & \text{Valori:}\\
a \neq 0 & b \neq 0 \land b \neq a & \text{2° grado} & \text{due distinte} & x = \frac{a+b \pm |a-b|}{4ab} \\
a \neq 0 & b=a & \text{2° grado} & \text{due coincidenti} & x = \frac{1}{2a} \\
a \neq 0 & b = 0 & \text{1° grado} & \text{unica} & x = \frac{1}{2a}
\end{matrix}
\]
dalla quale desumo di aver esaminato tutti i casi possibili, perché leggendo le colonne delle $"Condizioni su " a$ e $"Condizioni su " b$ si vede che tutti i casi possibili per $a$ e tutti i casi possibili per $b$ sono stati vagliati.
Se volessi aggiungere più dettaglio, potrei discutere quel valore assoluto nelle soluzioni.
Dato che $a - b > 0$ solo se $b < a$ (N.B.: scelgo $b$ come incognita, visto che il parametro $a$ è quello che fisso prima...), ottengo:
- [*:36xh2uhv] se $b < a$, allora le due soluzioni sono:
$x = (a+b+-(a-b))/(4ab) \ =>\ x= 1/(2a) vv x = 1/(2b)$;
[/*:m:36xh2uhv]
[*:36xh2uhv] se $b > a$, allora le due soluzioni sono:
$x = (a+b+-(b-a))/(4ab) \ =>\ x= 1/(2b) vv x = 1/(2a)$
(come sopra, solo in ordine inverso... Ovviamente l'avrei potuto dire subito: perché?)[/*:m:36xh2uhv][/list:u:36xh2uhv]
Quindi avrei ottenuto una tabella leggermente migliore:
\[
\begin{matrix}
\text{Condizioni su } a: & \text{Condizioni su } b: & \text{Equazione di:} & \text{Soluzioni:} & \text{Valori:}\\
a \neq 0 & b \neq 0 \land b \neq a & \text{2° grado} & \text{due distinte} & x = \frac{1}{2a} \lor x = \frac{1}{2b} \\
a \neq 0 & b=a & \text{2° grado} & \text{due coincidenti} & x = \frac{1}{2a} \\
a \neq 0 & b = 0 & \text{1° grado} & \text{unica} & x = \frac{1}{2a}
\end{matrix}
\]
in cui i valori delle soluzioni compaiono in maniera più esplicita.
***
Allo stesso modo tratterei l'altra.
Prova.
***
Però, però...
Si sarebbe potuta risolvere tutta l'equazione senza fare troppe discussioni: come?
Pensaci un po'... Poi se ti interessa ne parliamo.
Grazie gugo per la lunga e dettagliata risposta.
Intanto provo la seconda, sperando di far bene:
$x^2+(a^2+b^2)x−ab(b^2−a^2)=0$
Il coefficiente di $x^2$ non dipende da nessun parametro, quindi avrò sempre un'equazione di secondo grado, con delta = $(a^2+b^2)^2-4(-ab^3+a^3b)=a^4+2a^2b^2+b^4+ab^3-4a^3b=(a^2-2ab-b^2)^2$
Il delta è sempre positivo ma si annulla se $a=0^^b=0$, nel qual caso ottengo $x^2=0$ quindi $x=0$.
Se $a=0^^bne0$ ottengo $Delta=(-b^2)^2$ quindi $x=(0-b^2\pmsqrt((-b^2)^2))/2$ e quindi $x=0 vee x=-b^2$
Se $ane0^^b=0$ il caso è anlogo con $x=0 vee x=-a^2$
Se $a=b^^bne0$ abbiamo $Delta=(b^2-2b^2-b^2)^2$ quindi $x=(-b^2-b^2\pmsqrt((-2b^2)^2))/2$ con soluzioni $x=0 vee x=-2b^2$
Se $aneb^^ane0^^bne0$ allora $Delta=(a^2-2ab-b^2)^2$ ed $x=(-a^2-b^2\pmsqrt((a^2-2ab-b^2)^2))/2$ con soluzioni $x=-ab-b^2 vee x=ab-a^2$
Nella tua fantastica tabella
:
\[ \begin{matrix} \text{Condizioni su } a: & \text{Condizioni su } b: & \text{Equazione di:} & \text{Soluzioni:} & \text{Valori:}\\ a =0 & b=0 & \text{2° grado} & \text{unica} & x =0 \\ a =0 & b\neq 0 & \text{2° grado} & \text{due distinte} & x =0 \lor x=-b^2 \\ a \neq 0 & b = 0 & \text{2° grado} & \text{due distinte} & x =0 \lor x=-a^2 \\ a=b & b\neq 0 & \text{2° grado} & \text{due distinte} & x =0 \lor x=-2b^2 \\ a\neq b\land a\neq 0 & b\neq 0 & \text{2° grado} & \text{due distinte} & x =\frac{-(a^2+b^2)\pm|a^2-2ab-b^2|}{2} \end{matrix} \]
Intanto provo la seconda, sperando di far bene:
$x^2+(a^2+b^2)x−ab(b^2−a^2)=0$
Il coefficiente di $x^2$ non dipende da nessun parametro, quindi avrò sempre un'equazione di secondo grado, con delta = $(a^2+b^2)^2-4(-ab^3+a^3b)=a^4+2a^2b^2+b^4+ab^3-4a^3b=(a^2-2ab-b^2)^2$
Il delta è sempre positivo ma si annulla se $a=0^^b=0$, nel qual caso ottengo $x^2=0$ quindi $x=0$.
Se $a=0^^bne0$ ottengo $Delta=(-b^2)^2$ quindi $x=(0-b^2\pmsqrt((-b^2)^2))/2$ e quindi $x=0 vee x=-b^2$
Se $ane0^^b=0$ il caso è anlogo con $x=0 vee x=-a^2$
Se $a=b^^bne0$ abbiamo $Delta=(b^2-2b^2-b^2)^2$ quindi $x=(-b^2-b^2\pmsqrt((-2b^2)^2))/2$ con soluzioni $x=0 vee x=-2b^2$
Se $aneb^^ane0^^bne0$ allora $Delta=(a^2-2ab-b^2)^2$ ed $x=(-a^2-b^2\pmsqrt((a^2-2ab-b^2)^2))/2$ con soluzioni $x=-ab-b^2 vee x=ab-a^2$
Nella tua fantastica tabella
:\[ \begin{matrix} \text{Condizioni su } a: & \text{Condizioni su } b: & \text{Equazione di:} & \text{Soluzioni:} & \text{Valori:}\\ a =0 & b=0 & \text{2° grado} & \text{unica} & x =0 \\ a =0 & b\neq 0 & \text{2° grado} & \text{due distinte} & x =0 \lor x=-b^2 \\ a \neq 0 & b = 0 & \text{2° grado} & \text{due distinte} & x =0 \lor x=-a^2 \\ a=b & b\neq 0 & \text{2° grado} & \text{due distinte} & x =0 \lor x=-2b^2 \\ a\neq b\land a\neq 0 & b\neq 0 & \text{2° grado} & \text{due distinte} & x =\frac{-(a^2+b^2)\pm|a^2-2ab-b^2|}{2} \end{matrix} \]
Io l'avrei fatta più semplice.
La soluzione generale diventa, proprio per il $+-$ davanti al modulo,
$x_1=(-a^2-b^2 -a^2+2ab +b^2)/2= (2a(b-a))/2=a(b-a)$
$x_2=(-a^2-b^2+a^2-2ab -b^2)/2= (-2b(b+a))/2= -b(b+a)$
Quando $a=b$ le soluzioni sono, come hai ottenuto tu, $x_1=0$ e $x_2= -2b^2$
Quando $a=0 ^^ b!=0$ si ottiene $x_1=0$ e $x_2= -b^2$
Quando $a!=0 ^^ b=0$ si ottiene $x_1=-a^2$ e $x_2= 0$
L'unico altro caso da mettere in evidenza è $a=b=0$, perché in tal caso le soluzioni sono coincidenti $x_1= x_2= 0$
La soluzione generale diventa, proprio per il $+-$ davanti al modulo,
$x_1=(-a^2-b^2 -a^2+2ab +b^2)/2= (2a(b-a))/2=a(b-a)$
$x_2=(-a^2-b^2+a^2-2ab -b^2)/2= (-2b(b+a))/2= -b(b+a)$
Quando $a=b$ le soluzioni sono, come hai ottenuto tu, $x_1=0$ e $x_2= -2b^2$
Quando $a=0 ^^ b!=0$ si ottiene $x_1=0$ e $x_2= -b^2$
Quando $a!=0 ^^ b=0$ si ottiene $x_1=-a^2$ e $x_2= 0$
L'unico altro caso da mettere in evidenza è $a=b=0$, perché in tal caso le soluzioni sono coincidenti $x_1= x_2= 0$
@melia
In effetti le situazioni sono quelle;a volte preferisco essere un po' prolisso ma seguire una certa simmetria, altre volte sono prolisso perchè inesperto!
@gugo
Per quanto riguarda l'osservazione che fai alla fine del tuo post, forse intendi quanto segue:
dal momento che $ane0$ per C.E., allora se $b=a$ necessariamente $bne0$; allo stesso modo se $b=0$ allora necessariamente $bnea$.
Dunque le soluzioni di questi due ultimi casi saranno contemplate nel caso $ane0^^bne0^^bnea$.
Corretto?
In effetti le situazioni sono quelle;a volte preferisco essere un po' prolisso ma seguire una certa simmetria, altre volte sono prolisso perchè inesperto!
@gugo
Per quanto riguarda l'osservazione che fai alla fine del tuo post, forse intendi quanto segue:
dal momento che $ane0$ per C.E., allora se $b=a$ necessariamente $bne0$; allo stesso modo se $b=0$ allora necessariamente $bnea$.
Dunque le soluzioni di questi due ultimi casi saranno contemplate nel caso $ane0^^bne0^^bnea$.
Corretto?
"Stillife":
Grazie gugo per la lunga e dettagliata risposta.
Prego.
"Stillife":
Intanto provo la seconda, sperando di far bene:
$x^2+(a^2+b^2)x−ab(b^2−a^2)=0$
Il coefficiente di $x^2$ non dipende da nessun parametro, quindi avrò sempre un'equazione di secondo grado, con delta = $(a^2+b^2)^2-4(-ab^3+a^3b)=a^4+2a^2b^2+b^4+ab^3-4a^3b=(a^2-2ab-b^2)^2$
Il delta è sempre positivo ma si annulla se $a=0^^b=0$ [...]
Ma non se e solo see...
Infatti hai:
$Delta = 0 \ <=> \ a^2 - 2ab - b^2 = 0 \ <=> \ a^2 - 2ab + b^2 - 2 b^2 = 0 \ <=> \ (a-b)^2 - 2 b^2 = 0$
in cui, per passare dalla seconda alla terza equazione, ho sommato e sottratto $b^2$; usando la differenza di quadrati ottieni:
$Delta = 0 \ <=> \ (a-b-sqrt(2) b) * (a - b + sqrt(2) b) = 0 \ <=> \ a = (1 +- sqrt(2)) b$
quindi il tuo $Delta$ si annulla per parecchi (infiniti!) valori di $a$ e $b$ diversi da $0$.
Rivedi le tue conclusioni alla luce di questo fatto.
"Stillife":
Per quanto riguarda l'osservazione che fai alla fine del tuo post, forse intendi quanto segue:
dal momento che $ ane0 $ per C.E., allora se $ b=a $ necessariamente $ bne0 $; allo stesso modo se $ b=0 $ allora necessariamente $ bnea $.
Dunque le soluzioni di questi due ultimi casi saranno contemplate nel caso $ ane0^^bne0^^bnea $.
Corretto?
Non pensavo a questo, ma ad una cosa più semplice.
Alla fine dei conti, supponendo $b != 0$ (perché $a != 0$ già ce l'hai per C.E.), puoi dividere tutto per $4ab$ e con un po' di contarielli algebrici riesci a riscrivere l'equazione come:
$x^2 - (1/(2a) + 1/(2b)) x + 1/(4ab) = 0$
che ha al primo membro un trinomio notevole con radici $1/(2a)$ ed $1/(2b)$ (che sono gli unici due valori che moltiplicati danno $1/(4ab)$ e sommati danno $1/(2a) + 1/(2b)$).
In effetti limitare il caso in cui Delta si annulla solamente ad $a=0^^b=0$ è alquanto riduttivo.
Dal momento che Delta si annulla se e solo se $a=(1±sqrt(2))b$ allora il caso $a=0^^b=0$ non è che un caso particolare di questa situazione, ovvero se $b=0$.
Sarebbe dunque corretto sostituire il primo caso della tabella con $a=(1±\sqrt{2})b^^b=0$ e specificare nell'ultima riga $ane(1±\sqrt{2})b$?
Inoltre, vorrei approfittarne per chiedere se quella di sommare e sottrarre $b^2$ sia una tecnica nota o tua.
Dal momento che Delta si annulla se e solo se $a=(1±sqrt(2))b$ allora il caso $a=0^^b=0$ non è che un caso particolare di questa situazione, ovvero se $b=0$.
Sarebbe dunque corretto sostituire il primo caso della tabella con $a=(1±\sqrt{2})b^^b=0$ e specificare nell'ultima riga $ane(1±\sqrt{2})b$?
Inoltre, vorrei approfittarne per chiedere se quella di sommare e sottrarre $b^2$ sia una tecnica nota o tua.
@melia l'ha fatta semplice, ma io semplificherei ulteriormente.
Dopo aver calcolato $Delta$, noto che poiché il coefficiente di $x^2$ è sempre diverso da zero e si ha sempre $Delta>=0$, ci sono sempre due soluzioni, che coincidono quando
$Delta=0 harr a^2-2ab-b^2=0 harr a=b(1+-sqrt2)$
Tutti gli altri casi considerati rientrano in quanto appena detto e quindi sono pleonastici. Sbaglio?
Dopo aver calcolato $Delta$, noto che poiché il coefficiente di $x^2$ è sempre diverso da zero e si ha sempre $Delta>=0$, ci sono sempre due soluzioni, che coincidono quando
$Delta=0 harr a^2-2ab-b^2=0 harr a=b(1+-sqrt2)$
Tutti gli altri casi considerati rientrano in quanto appena detto e quindi sono pleonastici. Sbaglio?
Mi permetto di riprendere il post poichè sono molto confuso.
Fino ad ora, seguendo la procedura del libro, ho sempre agito nel seguente modo: si analizzano per quali valori i coefficienti di $x^2$, di $x$ ed il termine noto si annullano e di conseguenza si studiano le soluzioni rispetto a come si trasforma l'equazione.
Una volta esclusi questi valori, si procede a calcolare e studiare il $Delta$ (perchè esclusi quei valori l'equazione sarà completa) e dunque a studiare le soluzioni.
Mi pare di capire che nel caso della seconda equazione del mio post originale:
$x^2+(a^2+b^2)x−ab(b^2−a^2)=0$
tutta la procedura non sia necessaria, in quanto il coefficiente di $x^2$ non sia annulla mai ed il $Delta$ è sempre$>=0$?
Tuttavia anche considerato questo, esistono valori che annullano il coefficiente di $x$ ed il termine noto, no?
Non si applica la procedura in questo caso?
Fino ad ora, seguendo la procedura del libro, ho sempre agito nel seguente modo: si analizzano per quali valori i coefficienti di $x^2$, di $x$ ed il termine noto si annullano e di conseguenza si studiano le soluzioni rispetto a come si trasforma l'equazione.
Una volta esclusi questi valori, si procede a calcolare e studiare il $Delta$ (perchè esclusi quei valori l'equazione sarà completa) e dunque a studiare le soluzioni.
Mi pare di capire che nel caso della seconda equazione del mio post originale:
$x^2+(a^2+b^2)x−ab(b^2−a^2)=0$
tutta la procedura non sia necessaria, in quanto il coefficiente di $x^2$ non sia annulla mai ed il $Delta$ è sempre$>=0$?
Tuttavia anche considerato questo, esistono valori che annullano il coefficiente di $x$ ed il termine noto, no?
Non si applica la procedura in questo caso?
"Stillife":
Mi pare di capire che nel caso della seconda equazione... tutta la procedura non sia necessaria?
Esatto: bastano i calcoli che danno la risposta voluta. Il fatto che possano annullarsi gli addendi di grado inferiore al secondo non modifica la risposta e quindi non è necessario considerarli; sarebbe diverso se fosse richiesto che le soluzioni siano diverse da zero o se ce ne interessasse il segno.
Grazie Giammaria per aver risposto.
Per esempio, potrebbe non essere richiesto di notare che il termine noto si annulla, tra gli altri casi, per $a=\pmb$, ed in particolare se $a=b$, l'equazione diventa $x^2+2b^2=0$, mentre se $a=-b$ l'equazione diventa $x^2-2b^2=0$.
In ogni caso, quando incontro un esercizio del genere, per puro spirito di completezza preferisco cercar di analizzare quanti più casi posso, anche se non richiesto direttamente.
Per esempio, potrebbe non essere richiesto di notare che il termine noto si annulla, tra gli altri casi, per $a=\pmb$, ed in particolare se $a=b$, l'equazione diventa $x^2+2b^2=0$, mentre se $a=-b$ l'equazione diventa $x^2-2b^2=0$.
In ogni caso, quando incontro un esercizio del genere, per puro spirito di completezza preferisco cercar di analizzare quanti più casi posso, anche se non richiesto direttamente.
"Stillife":
Mi permetto di riprendere il post poichè sono molto confuso.
E grazie... Se davvero il tuo testo (qual è?) la mette giù così:
"Stillife":
Fino ad ora, seguendo la procedura del libro, ho sempre agito nel seguente modo: si analizzano per quali valori i coefficienti di $x^2$, di $x$ ed il termine noto si annullano e di conseguenza si studiano le soluzioni rispetto a come si trasforma l'equazione.
Una volta esclusi questi valori, si procede a calcolare e studiare il $Delta$ (perchè esclusi quei valori l'equazione sarà completa) e dunque a studiare le soluzioni.
fai solo bene ad essere confuso.
Facendo Matematica (come anche in Fisica) non contano le "procedure", conta il ragionamento che c'è dietro.
Se il tuo libro ti dicesse che per verificare la legge di caduta dei gravi devi, proceduralmente, buttarti dalla finestra, lo faresti?
Ma torniamo seri...
"Stillife":
Mi pare di capire che nel caso della seconda equazione del mio post originale:
$x^2+(a^2+b^2)x−ab(b^2−a^2)=0$
tutta la procedura non sia necessaria, in quanto il coefficiente di $x^2$ non sia annulla mai ed il $Delta$ è sempre$>=0$?
Tuttavia anche considerato questo, esistono valori che annullano il coefficiente di $x$ ed il termine noto, no?
Non si applica la procedura in questo caso?
Il punto è: "a cosa serve la procedura proposta dal testo"?
Da come la descrivi, mi pare che quella proposta, più che un procedimento risolutivo puro e semplice, sia una procedura innanzitutto classificatoria che ti consente di dire a quale "classe" di equazione di secondo grado la tua, per particolari scelte dei parametri, appartiene. Ovviamente, le classi sono 4: equazione degenere in equazione di primo grado ($a=0$), equazione pura ($a!=0, b=0$), equazione spuria ($a!=0, c=0$), equazione completa ($a,b,c!=0$).
Ok, ma che serve classificare?
Fondamentalmente, a nulla... O meglio, serve solo a ricordare che, oltre la formula generale, esistono tecniche risolutive particolari, le quali forniscono risultati in maniera più veloce: ad esempio, se un'equazione è spuria sai che essa ha una soluzione in $0$ e che l'altra si determina mettendo in evidenza ed annullando il fattore lineare.
Dunque, seguire o non seguire la procedura dipende da cosa chiede in realtà l'esercizio: se la richiesta è quella di risolvere o discutere semplicemente l'equazione, non ce n'è bisogno; se è chiesto di classificare l'equazione, sì conviene seguirlo.
Da come la descrivi, mi pare che quella proposta, più che un procedimento risolutivo puro e semplice, sia una procedura innanzitutto classificatoria che ti consente di dire a quale "classe" di equazione di secondo grado la tua, per particolari scelte dei parametri, appartiene. Ovviamente, le classi sono 4: equazione degenere in equazione di primo grado (a=0), equazione pura (a≠0,b=0), equazione spuria (a≠0,c=0), equazione completa (a,b,c≠0).
Infatti è proprio così.
Sono consapevole che non bisogna essere attaccati alle procedure; ci insistevo in quanto, studiando certi argomenti per la prima volta, cerco di seguire la traccia presentata nel testo (il secondo volume di algebra distribuito da matematicamente).
Inoltre, la stessa procedura non è nemmeno qualcosa di proposto come fondamentale; semplicemente, nel proporre qualche esempio di svolgimento di equazioni letterali si usava questo metodo, che poi ho voluto seguire io stesso un po' pedantemente nell' affrontare i primi esercizi.
"gugo82":
Ovviamente, le classi sono 4: equazione degenere in equazione di primo grado ($a=0$), equazione pura ($a!=0, b=0$), equazione spuria ($a!=0, c=0$), equazione completa ($a,b,c!=0$).
E $a!=0, b=c=0$?
Sarei curioso di sapere in quanti/quali paesi esistono queste classi "pura", "spuria" ecc. Sospetto che non siano molto diffuse ma potrei sbagliarmi. Si trovano su https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione ... ondo_grado ma cambiando la lingua non necessariamente. Ho chiesto ad un po' dei miei contatti internazionali e finora sono a 100% di "cavolo dici?"
"ghira":
[quote="gugo82"]Ovviamente, le classi sono 4: equazione degenere in equazione di primo grado ($a=0$), equazione pura ($a!=0, b=0$), equazione spuria ($a!=0, c=0$), equazione completa ($a,b,c!=0$).
E $a!=0, b=c=0$?[/quote]
Annoverata tra le equazioni pure, usualmente.
"ghira":
Sarei curioso di sapere in quanti/quali paesi esistono queste classi "pura", "spuria" ecc. Sospetto che non siano molto diffuse ma potrei sbagliarmi. Si trovano su https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione ... ondo_grado ma cambiando la lingua non necessariamente. Ho chiesto ad un po' dei miei contatti internazionali e finora sono a 100% di "cavolo dici?"
Infatti, come dicevo sopra, classificare le equazioni in quel modo non serve a nulla.
"gugo82":
Annoverata tra le equazioni pure, usualmente.
Ho visto queste descritte come "monomie". In Italia.
"ghira":
[quote="gugo82"]
Annoverata tra le equazioni pure, usualmente.
Ho visto queste descritte come "monomie". In Italia.[/quote]
Può essere... Ma sono cose che non insegno, usualmente, perché mi sembrano inutili.
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