Dubbio sull'esistenza dell'argomento dei logaritmi

[matematicus95]

se ho per esempio $log _2 sqrt((x)/(x+2))$ affinchè esista il logaritmo deve esse $b>0$ quindi svolgendo la disequazione viene $x<-2 vv x>0$. Però io per la proprietà dei logaritmi posso scrivere $log_2 sqrt(x) - log_2 sqrt(x+2)$ e la condizione affinchè il logaritmo esista è ${(b1>0),(b2>0):}$ e quindi la condizione diventa $x>0$ . adesso qual'è la vera condizione ,potete chiarirmi un pò e idee per favore(visto che prima ho una condizione e poi ne ho un'altra)?

[Sk_Anonymous]

L'uguaglianza \[\displaystyle \log \sqrt{\frac{x}{x+2}} = \log \sqrt{x} - \log \sqrt{x+2} \]sussiste solo per quei valori di \(\displaystyle x \) per i quali entrambe le funzioni siano ben definite ed esistano. Per gli altri valori la domanda perde pure di significato, visto che le due funzioni non sono propriamente uguali ( - infatti è diverso il loro insieme di definizione).

[matematicus95]

ma queste sono due funzioni differenti come mai non sono uguali visto che ho applicato semplicemente una proprietà dei logaritmi?

[Sk_Anonymous]

"Delirium":L'uguaglianza \[\displaystyle \log \sqrt{\frac{x}{x+2}} = \log \sqrt{x} - \log \sqrt{x+2} \]sussiste solo per quei valori di \(\displaystyle x \) per i quali entrambe le funzioni siano ben definite ed esistano. [...]

Il logaritmo e la funzione logaritmo sono due cose leggermente differenti.

[@melia]

..

$sqrt(x/(x+2))=sqrt((-x)/(-x-2))$ su questa sei d'accordo?

Per $x>0$ vale $log sqrt(x/(x+2))=log sqrt x - log sqrt(x+2)$

Per $x< -2$ vale $log sqrt(x/(x+2)) =log sqrt((-x)/(-x-2)) =log sqrt(- x) - log sqrt(-x-2)$

[Sk_Anonymous]

@ @melia: non capisco cosa non vada nella mia risposta. La formula in questione si può applicare in maniera incondizionata, a patto di porre appunto \[\displaystyle \log \sqrt{\frac{x}{x+2}} = \begin{cases} \log \sqrt{x} - \log \sqrt{x+2} & \text{if} \ x>0 \\ \log \sqrt{-x} - \log\sqrt{-x-2} & \text{if} \ x <-2 \end{cases} \quad [1]\]
e l'uguaglianza corretta è, dunque, la \(\displaystyle [1] \), e non quella riportata dall'utente (e da me di nuovo citata).

[@melia]

Non c'è niente che non va, solo che mi sembrava un po' troppo sibillina per matematicus95.

[Sk_Anonymous]

Ok @melia, hai ragione.