Dubbio sulle scomposizioni.
Buon giorno a tutti, per prima cosa voglio dirvi che sono l'utente Sudoker_1993 e che ho cambiato avatar 
; 2 volevo chiedervi delle spiegazioni sulle scomposizionie e cioé: quando posso mettere in evidenza (raccoglimento parziale/totale) delle frazioni 
?come accorgersene ?
per es.
$1/8a^3-b^3+3/8a^2b+3/2b^3-3/2ab^2$
Il risultato $[1/8(a-2b)(a^2+5ab-2b^2)]$ porta la messa in evidenza di $1/8$ ; perché va messo in evidenza $1/8$ tra tutte le frazioni ???
Grazie a tutti
.
; 2 volevo chiedervi delle spiegazioni sulle scomposizionie e cioé: quando posso mettere in evidenza (raccoglimento parziale/totale) delle frazioni ?come accorgersene ? per es.
$1/8a^3-b^3+3/8a^2b+3/2b^3-3/2ab^2$
Il risultato $[1/8(a-2b)(a^2+5ab-2b^2)]$ porta la messa in evidenza di $1/8$ ; perché va messo in evidenza $1/8$ tra tutte le frazioni
???Grazie a tutti
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Risposte
in generale puoi mettere in evidenza tutto cio' che vuoi, e' solo questione di estetica dell'espressione finale.
Quando ti trovi a dover scomporre un polinomio con coefficienti numerici frazionari il mio consiglio è quello di eseguire denominatore comune tra tutti i monomi e poi di raccogliere a fattor comune proprio la frazione numerica che costituisce il denominatore comune.
In questo caso avresti
$1/8a^3 - b^3 + 3/8a^2b + 3/2b^3 - 3/2ab^2 = (a^3 - 8b^3 + 3a^2b +12b^3 - 12ab^2)/8 = 1/8(a^3 - 8b^3 + 3a^2b +12b^3 - 12ab^2)$
A questo punto puoi dedicarti a scomporre il polinomio tra parentesi che ha solo coefficienti numerici interi.
In questo caso avresti
$1/8a^3 - b^3 + 3/8a^2b + 3/2b^3 - 3/2ab^2 = (a^3 - 8b^3 + 3a^2b +12b^3 - 12ab^2)/8 = 1/8(a^3 - 8b^3 + 3a^2b +12b^3 - 12ab^2)$
A questo punto puoi dedicarti a scomporre il polinomio tra parentesi che ha solo coefficienti numerici interi.
Rispondo alla prima domanda:
Ha messo in evidenza $1/8$ perché i fattori $1$ e $3/2$ diventano rispettivamente: $1\ =\ 8/8$ e $3/2\ =\ (3*4)/(2*4)\ = 12/8$, perciò il polinomio diventa: $1/8a^3+4/8b^3+3/8a^2b-12/8ab^2$, quindi portando in evidenza $1/8$ diventa:
$1/8\ (a^3+4b^3+3a^2b-12ab^2)$, questo polinomio è divisibile per $(a\ -\ 2b)$ (i termini al cubo hanno rispettivamente, i fattori 1 e 4...); dividendo si ricava, appunto: $1/8(a-2b)(a^2+5ab-2b^2)$
Ha messo in evidenza $1/8$ perché i fattori $1$ e $3/2$ diventano rispettivamente: $1\ =\ 8/8$ e $3/2\ =\ (3*4)/(2*4)\ = 12/8$, perciò il polinomio diventa: $1/8a^3+4/8b^3+3/8a^2b-12/8ab^2$, quindi portando in evidenza $1/8$ diventa:
$1/8\ (a^3+4b^3+3a^2b-12ab^2)$, questo polinomio è divisibile per $(a\ -\ 2b)$ (i termini al cubo hanno rispettivamente, i fattori 1 e 4...); dividendo si ricava, appunto: $1/8(a-2b)(a^2+5ab-2b^2)$
Ma quindi dovrei prendere il denominatore comune a tutti?
"Math_Team":
Ma quindi dovrei prendere il denominatore comune a tutti?
Il denominatore comune a tutti è nient'altro che il minimo comune multiplo tra i denominatori.
e con il numeratore che bisogna fare?
"Math_Team":
e con il numeratore che bisogna fare?
Regolati come se fosse una somma di frazioni numeriche.
Ad esempio
$7/5+4/3+2/15$
il minimo comune multiplo è $15$ quindi la somma è
$\frac{3*7+5*4+1*2}{15}$
Ovvero: dividi il denominatore comune per i vari denominatori, moltiplichi ciò che ottieni per il numeratore della stessa frazione, e ricopi nel numeratore della frazione somma. E via con gli altri.
Con le lettere è uguale.
Non ho capito tanto bene scusate se chiedo troppo.
Perché questa nel risultato non porta messe in evidenza di frazioni?
$27x^7y^3-27/2x^5y^3+9/4x^3y^3-1/8xy^3$
Perché oltre a $xy^3$ nn bisogna mettere in evidenza nient'altro ( in questo caso frazioni) ?
scusate se chiedo troppo.Perché questa nel risultato non porta messe in evidenza di frazioni?
$27x^7y^3-27/2x^5y^3+9/4x^3y^3-1/8xy^3$
Perché oltre a $xy^3$ nn bisogna mettere in evidenza nient'altro ( in questo caso frazioni)
?
"Math_Team":
Non ho capito tanto bene
Figurati, non chiedi troppo.
Il fatto è che devi cercare di dire dove non hai capito, e non dire solo "non ho capito rispiegatemelo", perché diventa difficile e stancante.
Cerca di venirci incontro.
"Math_Team":
Perché questa nel risultato non porta messe in evidenza di frazioni?
$27x^7y^3-27/2x^5y^3+9/4x^3y^3-1/8xy^3$
Perché oltre a $xy^3$ nn bisogna mettere in evidenza nient'altro ( in questo caso frazioni)
Probabilmente perché a prima vista non si può raccogliere nulla. Nell'altro esempio c'era almeno $1/2$
Comunque in questi casi è questione di estetica, come ti è già stato detto.
Quando servirà mettere in evidenza qualcosa che ti serve sia in evidenza, in altri esercizi, allora ti muoverai in quella direzione.
Quello che non ho capito tanto bene è come fare a capire se tra frazioni posso mettere in evidenza frazioni; e se si può fare come fare tra den. e num.?
Se quello che chiedi è una regola fissa da applicare ti dico subito che non esiste. L'unica regola è quella di mantenere i numeri più "semplici" possibili e con semplici intendo dire che dipende da te cosa preferisci fare. Ti faccio un esempio basato sul polinomio che hai scritto.
$27x^7y^3-27/2x^5y^3+9/4x^3y^3-1/8xy^3=xy^3(27x^6-27/2x^4+9/4x^2-1/8)=1/8xy^3(216x^6-108x^4+18x^2-1)$
Adesso dipende da te scegliere se preferisci la $2^a$ o la $3^a$ forma (io personalmente preferisco la $2^a$ perché i numeri sono più bassi anche se c'è la frazione) però entrambe corrispondo ad un cubo $xy^3(3x^2-1/2)^3=1/8xy^3(6x^2-1)^3$ che sono comunque lo stesso polinomio.
Sono stato abbastanza chiaro??
$27x^7y^3-27/2x^5y^3+9/4x^3y^3-1/8xy^3=xy^3(27x^6-27/2x^4+9/4x^2-1/8)=1/8xy^3(216x^6-108x^4+18x^2-1)$
Adesso dipende da te scegliere se preferisci la $2^a$ o la $3^a$ forma (io personalmente preferisco la $2^a$ perché i numeri sono più bassi anche se c'è la frazione) però entrambe corrispondo ad un cubo $xy^3(3x^2-1/2)^3=1/8xy^3(6x^2-1)^3$ che sono comunque lo stesso polinomio.
Sono stato abbastanza chiaro??
Io ragiono così:
Nel polinomio che hai scritto si possono raccogliere i termini in $(xy^3)/8$, perché, utilizzando il m.c.m., si possono trasformare tutti i fattori in frazioni che hanno l'$8$ al denominatore; in questo modo, oltre a semplificare il polinomio stesso, puoi notare che ha come termine noto l'$1$; ora questo è un primo indizio che, forse, il polinomio è divisibile per qualcosa come $"qualcosa\ -\ 1"$; puoi ancora notare che tutte le potenze della variabile $x$ sono PARI, pertanto, ponendo $x^2\ =\ t$, puoi trasformare il polinomio nel suo corrispondente: $(xy^3)/8*(216t^3-108t^2+18t-1)$. Ho tralasciato volontariamente il termine $(xy^3)/8$ perché operiamo sul solo polinomio tra parentesi. Ora, secondo Ruffini (se non ricordo male...), poichè il primo termine è il cubo di 6, ci sono buone speranze che quel $"qualcosa"$ possa essere proprio $6t-1$, o che si tratti proprio di un cubo. In ogni caso, proviamo a dividere, con la divisione tra polinomi, il polinomio $(216t^3-108t^2+18t-1) div (6t-1)$ ed otteniamo $(6t-1)*(36t^2-12t+1)$, applicando a questa la soluzione dell'equazione di 2° si trova che ha due radici reali e coincidenti $x_(1,2)\ =\ -1/6$, pertanto il polinomio originario si è ridotto al seguente: $(xy^3)/8(6t-1)^3$. Sostituendo a t il valore $x^2$ ottieni:
$(xy^3)/8(6x^2-1)^3$
Nel polinomio che hai scritto si possono raccogliere i termini in $(xy^3)/8$, perché, utilizzando il m.c.m., si possono trasformare tutti i fattori in frazioni che hanno l'$8$ al denominatore; in questo modo, oltre a semplificare il polinomio stesso, puoi notare che ha come termine noto l'$1$; ora questo è un primo indizio che, forse, il polinomio è divisibile per qualcosa come $"qualcosa\ -\ 1"$; puoi ancora notare che tutte le potenze della variabile $x$ sono PARI, pertanto, ponendo $x^2\ =\ t$, puoi trasformare il polinomio nel suo corrispondente: $(xy^3)/8*(216t^3-108t^2+18t-1)$. Ho tralasciato volontariamente il termine $(xy^3)/8$ perché operiamo sul solo polinomio tra parentesi. Ora, secondo Ruffini (se non ricordo male...), poichè il primo termine è il cubo di 6, ci sono buone speranze che quel $"qualcosa"$ possa essere proprio $6t-1$, o che si tratti proprio di un cubo. In ogni caso, proviamo a dividere, con la divisione tra polinomi, il polinomio $(216t^3-108t^2+18t-1) div (6t-1)$ ed otteniamo $(6t-1)*(36t^2-12t+1)$, applicando a questa la soluzione dell'equazione di 2° si trova che ha due radici reali e coincidenti $x_(1,2)\ =\ -1/6$, pertanto il polinomio originario si è ridotto al seguente: $(xy^3)/8(6t-1)^3$. Sostituendo a t il valore $x^2$ ottieni:
$(xy^3)/8(6x^2-1)^3$
Ma quindi in una scomposizione anche se io metto in evidenza le lettere senza frazioni alla fine risolvo lo stesso?? (grazie a tutti)
(grazie a tutti)
"Math_Team":
Ma quindi in una scomposizione anche se io metto in evidenza le lettere senza frazioni alla fine risolvo lo stesso??
Dipende perché noi abbiamo estratto dal polinomio il numero $(1/2)^3$ che ha lo stesso esponente del polinomio, per tutti i numeri che non siano cubi perfetti questo discorso non vale. Se vuoi fare una prova dal polinomio di partenza prova a raccogliere solo il termine $x/8$ vedi che otterrai un cubo facilmente scomponibile, se invece provi a raccogliere $y^3/8$ ti ritroverai con un polinomio che non riusciresti a ricondurre ad un cubo
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