Dubbio sulla propreta' delle equazioni
Salve,vorrei porvi un quesito.
il secondo principio delle equazioni enuncia:Moltiplicando o dividendo i 2 membri di una equazione per una spressione che non contenga l'incognita e diversa da zero si ottiene una equazione equivalente a quella data.
il perche' mi e' chiaro,evidentemente se moltiplicassi per una espressione contenente l'incognita otterrei una equazione con le eventuali radici dell'espressione.perfetto.
il libro in seguito recita:Se,inversamente,si dividono ambo i membri di una equazione per una espressione in x,si ottiene un'equazione avente in uno le eventuali radici di tale espressione.
quindi non si puo' ne' dividere ne moltiplicare l'equazione per una espressione in x giusto?
l'unica cosa che si puo' fare nelle equazioni fratte e' moltiplicare tutti i suoi termini per il m.c.m dei denominatori e cosi' elidere i denominatori ?
ad esempio su questo esercizio
1+sen(x)=cos^2x(1+sen(x))
se io dividessi tutto per 1+senx otterrei cos^2x=1
cosa che da quanto ho capito pare non si possa fare perche' e' una espressione contenente la x.
scusate per questa domanda banale ma la mia prof in classe ha fatto parecchia confusione
il secondo principio delle equazioni enuncia:Moltiplicando o dividendo i 2 membri di una equazione per una spressione che non contenga l'incognita e diversa da zero si ottiene una equazione equivalente a quella data.
il perche' mi e' chiaro,evidentemente se moltiplicassi per una espressione contenente l'incognita otterrei una equazione con le eventuali radici dell'espressione.perfetto.
il libro in seguito recita:Se,inversamente,si dividono ambo i membri di una equazione per una espressione in x,si ottiene un'equazione avente in uno le eventuali radici di tale espressione.
quindi non si puo' ne' dividere ne moltiplicare l'equazione per una espressione in x giusto?
l'unica cosa che si puo' fare nelle equazioni fratte e' moltiplicare tutti i suoi termini per il m.c.m dei denominatori e cosi' elidere i denominatori ?
ad esempio su questo esercizio
1+sen(x)=cos^2x(1+sen(x))
se io dividessi tutto per 1+senx otterrei cos^2x=1
cosa che da quanto ho capito pare non si possa fare perche' e' una espressione contenente la x.
scusate per questa domanda banale ma la mia prof in classe ha fatto parecchia confusione
Risposte
Puoi dividere per quel fattore a patto che:
$ 1 + sinx ne 0 $
ovvero
$ sinx ne -1 $
in definitiva:
$ x ne 3/2pi+2kpi $
con $ k $ numero relativo
$ 1 + sinx ne 0 $
ovvero
$ sinx ne -1 $
in definitiva:
$ x ne 3/2pi+2kpi $
con $ k $ numero relativo
si ma io potrei anche raccogliere 1+senx ottenendo (1+senx)(-cos^2x+1)=0
e cosi' le soluzioni sarebbero x=2kπ e x=3/2π +2kπ
se avessi diviso per 1+senx avrei escluso una soluzione.non e' scorretto?
e cosi' le soluzioni sarebbero x=2kπ e x=3/2π +2kπ
se avessi diviso per 1+senx avrei escluso una soluzione.non e' scorretto?
Sì, avresti escluso una soluzione.
morale? non si divide? 
L'altra soluzione è $x=kpi$ oltre a $x=3/2pi+2kpi$,
non $x=2kpi$, infatti se il quadrato del coseno è 1,
allora il coseno può assumere valore 1 o -1,
e questo succede per $x=2kpi vv x=pi+2kpi$,
in definitiva per multipli interi di $pi$, cioè $x=kpi$.
non $x=2kpi$, infatti se il quadrato del coseno è 1,
allora il coseno può assumere valore 1 o -1,
e questo succede per $x=2kpi vv x=pi+2kpi$,
in definitiva per multipli interi di $pi$, cioè $x=kpi$.
Sì, la morale è quella.
hai ragione la sol e' kπ
il testo dell'esercizio era
sqrt(1+senx)=cos^2x/(sqrt(1-senx))
dato che le espressioni 1+senx e 1-senx risultano sempre positive o nulle pongo 1-senx !=0 e quindi x !=π /2 + kπ
ed elevo al quadrato ottenendo:
1+senx=cos^4x/(1-senx)
ora moltiplico ambo i membri per (1-senx)/(1-senx) il che si puo' fare perche' fa 1!!!!
cosi ho
cos^2x=cos^4x
qui invece non posso dividere perche' potrei escludere eventuali soluzioni, devo quindi necessariamente raccogliere
cos^2x(1-cos^2x)=0
la sol di cos^2x=0 non e' accettabile
mentre x=kπ si
dimmi se l'esercizio e i ragionamenti sono corretti,qualora lo fossero ti ringrazio per avermi aiutato a chiarire le idee
il testo dell'esercizio era
sqrt(1+senx)=cos^2x/(sqrt(1-senx))
dato che le espressioni 1+senx e 1-senx risultano sempre positive o nulle pongo 1-senx !=0 e quindi x !=π /2 + kπ
ed elevo al quadrato ottenendo:
1+senx=cos^4x/(1-senx)
ora moltiplico ambo i membri per (1-senx)/(1-senx) il che si puo' fare perche' fa 1!!!!
cosi ho
cos^2x=cos^4x
qui invece non posso dividere perche' potrei escludere eventuali soluzioni, devo quindi necessariamente raccogliere
cos^2x(1-cos^2x)=0
la sol di cos^2x=0 non e' accettabile
mentre x=kπ si
dimmi se l'esercizio e i ragionamenti sono corretti,qualora lo fossero ti ringrazio per avermi aiutato a chiarire le idee
No, non è corretto: la condizione
che va posta all'inizio è $1-sinx>0$ da cui $sinx<1$
e cioè $x!=pi/2+2kpi$. C'è un po' di differenza...
Inoltre: $cos^2x=cos^4x$ da cui $cos^2x(cos^2x-1)=0$
e dunque per la legge di
annullamento del prodotto si ha $cosx=0$
oppure $cosx=+-1$, per cui, rispettivamente,
$x=pi/2+2kpi vv x=3/2pi+2kpi vv x=kpi$, ma la
prima non è accettabile per le condizioni poste
in precedenza, per cui solo le ultime due
sono soluzioni accettabili: $x=3/2pi+2kpi vv x = kpi$
che va posta all'inizio è $1-sinx>0$ da cui $sinx<1$
e cioè $x!=pi/2+2kpi$. C'è un po' di differenza...
Inoltre: $cos^2x=cos^4x$ da cui $cos^2x(cos^2x-1)=0$
e dunque per la legge di
annullamento del prodotto si ha $cosx=0$
oppure $cosx=+-1$, per cui, rispettivamente,
$x=pi/2+2kpi vv x=3/2pi+2kpi vv x=kpi$, ma la
prima non è accettabile per le condizioni poste
in precedenza, per cui solo le ultime due
sono soluzioni accettabili: $x=3/2pi+2kpi vv x = kpi$
1-senx puo' essere solo uguale a zero o maggiore di zero essendo -1<=senx<=1
cosx=±1, non da' le soluzioni da te citate.
quelle sono per il seno
cosx=±1, non da' le soluzioni da te citate.
quelle sono per il seno
Non capisco cosa stai dicendo... Guarda che i risultati tornano...
Per quanto riguarda $1-sinx$ è corretto quello che dici,
ma a rigore quando qualsiasi quantità si trova sotto una
radice di indice pari bisogna imporre che tale quantità sia non
negativa, in particolare quando il radicale si trova a denominatore
il radicando dev'essere strettamente positivo.
Quanto a $cosx=+-1$ ti ho già detto che le soluzioni
sono: $x=2kpi$ per $cosx=1$, $x=(2k+1)pi$ per $cosx=-1$,
cioè tutti i multipli pari e dispari di $pi$, perciò
tutti i multipli INTERI di $pi$: $x=kpi$.
Per quanto riguarda $1-sinx$ è corretto quello che dici,
ma a rigore quando qualsiasi quantità si trova sotto una
radice di indice pari bisogna imporre che tale quantità sia non
negativa, in particolare quando il radicale si trova a denominatore
il radicando dev'essere strettamente positivo.
Quanto a $cosx=+-1$ ti ho già detto che le soluzioni
sono: $x=2kpi$ per $cosx=1$, $x=(2k+1)pi$ per $cosx=-1$,
cioè tutti i multipli pari e dispari di $pi$, perciò
tutti i multipli INTERI di $pi$: $x=kpi$.
Data un'equazione del tipo
$a sen^2x+b senxcosx+c cos^2x=d$
basta dividere ambo i membri per $cos^2x$ supposto diverso da zero;
si ottiene così l'equazione
$atg^2x+btgx+c=d(tg^2x+1)$,cioè
$(a-d)tg^2x+btgx+c-d=0$.
In base al secondo principio delle equazioni si devetenere presente:
1)se le soluzioni di $cosx=0$ non sono soluzioni dell'equazione data allora $(a-d)tg^2x+btgx+c-d=0$
è equivalente all'equazione data;
2) se invece le soluzioni dell'equazione: $cosx=0$ sono soluzioni dell'equazione data,allora alle soluzioni della $(a-d)tg^2x+btgx+c-d=0$
bisogna aggiungere le soluzioni dell'equaziione $cosx=0$
$a sen^2x+b senxcosx+c cos^2x=d$
basta dividere ambo i membri per $cos^2x$ supposto diverso da zero;
si ottiene così l'equazione
$atg^2x+btgx+c=d(tg^2x+1)$,cioè
$(a-d)tg^2x+btgx+c-d=0$.
In base al secondo principio delle equazioni si devetenere presente:
1)se le soluzioni di $cosx=0$ non sono soluzioni dell'equazione data allora $(a-d)tg^2x+btgx+c-d=0$
è equivalente all'equazione data;
2) se invece le soluzioni dell'equazione: $cosx=0$ sono soluzioni dell'equazione data,allora alle soluzioni della $(a-d)tg^2x+btgx+c-d=0$
bisogna aggiungere le soluzioni dell'equaziione $cosx=0$
si e' giusto,ho solo detto che il denominatore e' gia' positivo,e che bisogna solo porlo diverso da zero dato che negativo non potra' mai essere
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