Dubbio sulla definizione di radice quadrata

[Injo]

Durante la risoluzione dell'equazione \(\displaystyle \sqrt{5x+1} + \sqrt{x+1} -6=0 \) mi è sorto un dubbio imbarazzante e probabilmente sciocco ma dal quale non riesco a venire a capo.

Ho iniziato la risoluzione con i classici elevamenti al quadrato fino ad ottenere \(\displaystyle x^2-27x+72=0 \) le cui soluzioni sono \(\displaystyle x_1=3 \) e \(\displaystyle x_2=24 \). Sono quindi andato a sostituire le due soluzioni nell'equazione di partenza per scoprire se sono soluzioni estranee, ovvero nate dagli elevamenti al quadrato, oppure effettive soluzioni del problema originale.

Con \(\displaystyle x_1=3 \) nessun problema; sostituendo si ottiene \(\displaystyle \sqrt{15+1} + \sqrt{3+1} -6=0 \) ovvero \(\displaystyle 4 + 2 - 6=0 \) che è verificata.

Utilizzando invece \(\displaystyle x_2=24 \) si ottiene \(\displaystyle \sqrt{120+1} + \sqrt{24+1} -6=0 \) ovvero \(\displaystyle 11 + 5 - 6=0 \) che non è verificata, quindi questa è una soluzione estranea.

Il dubbio mi sorge proprio in questo punto. Se considerassi \(\displaystyle \sqrt{25}=-5 \) invece di \(\displaystyle \sqrt{25}=5 \) otterrei \(\displaystyle 11 - 5 - 6=0 \) che risulta verificata ma ovunque io abbia controllato questa possibilità non viene mai presa in considerazione nonostante sia formalmente corretta. Il dubbio quindi è: la radice quadrata viene ristretta ad un codominio \(\displaystyle \{x\geq0\} \) solo per ottenere una funzione ben definita o c'è un'altra motivazione? E tale restrizione non può rischiare di farmi perdere soluzioni come nel caso precedente?

[JackMek]

Durante i calcoli sei giunto ad avere questa equazione irrazionale
\(\sqrt{(5x+1)(x+1)} = 17-3x \)

prima di elevare al quadrato hai delle condizioni da doverti porre...

[mazzarri1]

"Injo":
Il dubbio mi sorge proprio in questo punto. Se considerassi \(\displaystyle \sqrt{25}=-5 \) invece di \(\displaystyle \sqrt{25}=5 \) otterrei \(\displaystyle 11 - 5 - 6=0 \) che risulta verificata ma ovunque io abbia controllato questa possibilità non viene mai presa in considerazione nonostante sia formalmente corretta. Il dubbio quindi è: la radice quadrata viene ristretta ad un codominio \(\displaystyle \{x\geq0\} \) solo per ottenere una funzione ben definita o c'è un'altra motivazione? E tale restrizione non può rischiare di farmi perdere soluzioni come nel caso precedente?

ciao Injo!!

Commetti un errore di fondo, molto comune direi
$sqrt(25)=5$
e basta... non c'è una "seconda soluzione"

Stai confondendo la radice quadrata con l'elevamento a potenza

La funzione "radice quadrata" è sempre positiva, bisogna per forza di cose restringere il codominio all'immagine del dominio se no... non sarebbe più una funzione!! Nel senso che se prendi la funzione $y=x^2$ e ne fai l'inversa ottieni una cosa che NON è una funzione perchè a un valore della x corrisponderebbero 2 valori della y andando contro la definizione di funzione... quindi si restringe il codominio e si prende il solo ramo delle y positive

In definitiva attenzione a questo:

$x^2=4$ implica $x=+-2$

ma

$sqrt 4= 2$ e basta

non confondere le due funzioni, è un errore comune ma bisogna prestarci attenzione.

Dopo se riesco allego il grafico della funzione radice quadrata, ora non riesco...

Detto questo, come già ti ha suggerito JackMeck, al posto di arrivare alle soluzioni e di controllare daccapo se sono accettabili o no, solitamente si pongono le Condizioni di Esistenza (C.E.) imponendo i radicandi maggiori o uguali a zero, risolvendo le disequazioni e alla fine osservando se le tue soluzioni appartengono o no al campo di esistenza

ciao!

[Injo]

Senza focalizzarmi troppo sull'esempio che ho portato cerco di spiegare meglio quale è il mio dubbio. Ho capito come la definizione di, ad esempio, \(\displaystyle \sqrt{4}=2 \) serva a rimuovere le ambiguità e rendere ben definita la funzione \(\displaystyle \sqrt{ } \). Ma non potrei definire allo stesso modo una fuzione \(\displaystyle \overline{\sqrt{ }} \) tale che \(\displaystyle \overline{\sqrt{4}}=-2 \)? Anche questa sarebbe una fuzione ben definita e come nella precedente si avrebbe \(\displaystyle (\overline{\sqrt{x}})^2=x \). Quello che non mi è chiaro è: si usa \(\displaystyle \sqrt{ } \) invece di \(\displaystyle \overline{\sqrt{ }} \) solo per convenzione o c'è un motivo specifico che mi sfugge? E nel caso in cui sia una convenzione, come posso essere sicuro che tale scelta non influisca sulle soluzioni?

[mazzarri1]

Capisco... ma seguendo il tuo stesso ragionamento se per convenzione si prendesse il ramo negativo della funzione radice quadrata allora avresti

$sqrt(25)=-5$

ma attenzione sarebbe anche

$sqrt(121)=-11$

e la tua equazione non sarebbe verificata lo stesso...

Si prende il ramo positivo direi per convenzione, la funzione radice quadrata è crescente.

Dopodichè se vuoi pensi a una altra funzione e la chiami "radice quadrata tilde" come hai fatto tu e porendi solo il ramo negativo. va bene. Ma allora devi considerare un esercizio apposito!!! Fatto con radici TILDE e basta. Questo qui parla di radice quadrata che è quella che conosciamo tutti, crescente con valori positivi. Se vuoi un esercizio con la TUA nuova funzione devi farlo apposta, questo qui che hai scritto non va bene perchè non sarebbe verificata nè la prima nè la seconda soluzione, sarebbero entrambe non accettabili

Per esempio l'esercizio

$sqrt (x)=4$ ha una soluzione che è $x=16$

mentre l'esercizio

$bar (sqrt (x))=4$ dove qui la radice è TILDE cioè la tua... non ha soluzioni!!! Perchè la tua radice è sempre negativa

mentre l'esercizio

$bar (sqrt (x))=-4$ ha una soluzione che è $x=-16$

[Injo]

Ok, credo che i miei dubbi siano risolti, grazie per le risposte.