Dubbio sulla definizione di massimo.

[StellaMartensitica]

Salve,
avrei ancora un dubbio circa gli studi di funzione, in particolare sulla definizione di massimo.
Per spiegare quale sia il problema porto due esercizi che non riesco a risolvere:

1) Test:
Se f(x) ha un massimo in c=1, allora:
A_ f(x) può essere discontinua in c.
B_ f(x) deve essere derivabile.
C_ Il grafico di f(x) ha nel punto c la tangente orizzontale.
D_ f'(1)=0
E_ f(x) è continua ma non derivabile in c.

2) Quesito:
Scrivi la condizione sufficiente per l'esistenza dei massimi e dei minimi delle funzioni derivabili due volte. Fai un esempio di funzione che non soddisfa tale condizione, anche se ha un punto di massimo o di minimo.

[Si tratta di esercizi presi da un libro dove non ci sono le soluzioni. Per quanto riguarda il primo esercizio la risposta giusta dovrebbe essere unica, anche se non è specificato]

Il mio problema è il seguente:
Per il primo esercizio per me le risposte sono tutte sbagliate in quanto, secondo dei miei ragionamenti:
- La "A" non può essere vera perché se c'è un massimo in c, allora in un intorno di c la funzione deve essere continua.
- La "B" non è vera sempre, perché la funzione-in c-potrebbe avere una cuspide rivolta verso l'alto, e quindi un massimo.
- La "C" non è vera sempre per lo stesso motivo della "B".
- La "D" è praticamente la "C" detta in modo diverso.
- Le "E" sarebbe vera se in c ci fosse una cuspide, cosa che non è sempre vera.
Dove sbaglio?

2) Per una funzione f(x) derivabile la condizione sufficiente per l'esistenza di un massimo in c è:
che f(x) sia definita e continua in c,
che f'(c) esista e sia nulla,
che la prima derivata di ordine superiore al primo non nulla sia di ordine pari e negativa.

Per i minimi è la stessa cosa, ma la derivata deve essere positiva.

L'esempio non riesco a trovarlo perché una funzione del tipo specificato (derivabile due volte) che abbia un minimo (o un massimo) anche se non sia soddisfatta la condizione sufficiente perché un minimo (o un massimo) esista non mi viene proprio in mente.

Qualcuno può spiegarmi dove sto sbagliando?

[anonymous_0b37e9]

"SirDanielFortesque":
... la "A" non può essere vera perché se c'è un massimo in c, allora in un intorno di c la funzione deve essere continua ...

Chi l'ha detto?

[@melia]

Dove hai letto che per essere un massimo allora la funzione deve essere continua in un intorno?
Che ne dici, qual è il massimo di
$f(x)={(0,se\ \ x!=0),(1,se\ \ x=0):}$

Per la 2 direi che $f(x)=root(3)(x^2)$ fa al caso tuo. Ha un minimo in 0, ma non è derivabile in 0.

[StellaMartensitica]

Ora ho capito... avevo una lacuna.
Grazie.
La risposta quindi è la A.
La funzione che ha scritto lei ha evidentemente un massimo in (0;1).
Grazie.