Dubbio sul significato dell'integrale definito
Sudiando gli integrali definiti mi è sorto un dubbio riguardo il teorema fondamentale. Esso afferma che F'(x)=f(x).
Quel che non capisco è qual'è la straordinarietà di questo risultato. Se io ho una funzione $F(x)$ è ovvio che la derivata è $f(x)$ che è la funzione che sto integrando, dato che l'integrale è l'operazione contraria rispetto alla derivata. E poi non capisco in che modo calcolare il coefficiente angolare punto per punto di una funzione, sia il contrario di trovare l'area che sta sotto quella funzione. Potreste chiarirmi questi dubbi?
Quel che non capisco è qual'è la straordinarietà di questo risultato. Se io ho una funzione $F(x)$ è ovvio che la derivata è $f(x)$ che è la funzione che sto integrando, dato che l'integrale è l'operazione contraria rispetto alla derivata. E poi non capisco in che modo calcolare il coefficiente angolare punto per punto di una funzione, sia il contrario di trovare l'area che sta sotto quella funzione. Potreste chiarirmi questi dubbi?
Risposte
Tre pesantissimi dubbi in un colpo solo è un po' troppo; mi limito a cercare di rispondere al primo.
Come giustamente dici, cercare l'integrale indefinito è l'operazione inversa al derivare; quindi se F(x) è una primitiva di f(x) si ha F'(x)=f(x).
Un integrale definito è però introdotto in modo completamente diverso, come limite di una somma; a prima vista, può sembrare che fra le due cose non ci sia alcun collegamento e che sarebbe meglio indicare il risultato di questo limite con un'altra lettera, ad esempio con S(x). Il teorema fondamentale dice che il collegamento c'è perché S(x) è una primitiva di f(x).
Come giustamente dici, cercare l'integrale indefinito è l'operazione inversa al derivare; quindi se F(x) è una primitiva di f(x) si ha F'(x)=f(x).
Un integrale definito è però introdotto in modo completamente diverso, come limite di una somma; a prima vista, può sembrare che fra le due cose non ci sia alcun collegamento e che sarebbe meglio indicare il risultato di questo limite con un'altra lettera, ad esempio con S(x). Il teorema fondamentale dice che il collegamento c'è perché S(x) è una primitiva di f(x).
E' un teorema per nulla banale.
Pensa che per esempio l'equivalenza non e' puntuale, l'integrale deve necessariamente essere associato a un insieme, solo allora si può trovare una Primitiva.
Non solo, sono integrabili le funzioni continue, ma anche parecchie funzioni discontinue che si mantengono limitate, non solo, si possono cambiare i valori dell'insieme di definizione in un infinità numerabile di punti, e la primitiva non cambia.
E ancora tutte le primitive sono uguali a meno di una costante, e sono perciò infinite.
Insomma e' un ottimo teorema.
Pensa che per esempio l'equivalenza non e' puntuale, l'integrale deve necessariamente essere associato a un insieme, solo allora si può trovare una Primitiva.
Non solo, sono integrabili le funzioni continue, ma anche parecchie funzioni discontinue che si mantengono limitate, non solo, si possono cambiare i valori dell'insieme di definizione in un infinità numerabile di punti, e la primitiva non cambia.
E ancora tutte le primitive sono uguali a meno di una costante, e sono perciò infinite.
Insomma e' un ottimo teorema.
Grazie per il chiarimento.
Il teorema fondamentale del calcolo è, essenzialmente, l'asserto per cui
"ZfreS":e proprio per questo non è banale.
l'integrale è l'operazione contraria rispetto alla derivata
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