Dubbio sui logaritmi
se ho per esempio $(log_a x)^n$ come posso semplificarlo? è possibile farlo?
un'altra cosa perchè il caso a =1 non appartiene alla definizione di logaritmo mentre appartiene a quella di esponenziale
un'altra cosa perchè il caso a =1 non appartiene alla definizione di logaritmo mentre appartiene a quella di esponenziale
Risposte
Non ci sono formule per semplificare $(log_a x)^n$.
Per la seconda domanda: osserva il grafico di $y=a^x$ e noti che, per ogni $a$ positivo e diverso da 1, ad ogni $y$ positiva corrisponde una ed una sola $x$ e quindi possiamo scrivere $x=log_a y$. Se invece $a=1$ il grafico diventa la retta $y=1$: se $y!=1$ nessuna $x$ soddisfa quella formula e se invece $y=1$ qualsiasi $x$ va bene.
Per la seconda domanda: osserva il grafico di $y=a^x$ e noti che, per ogni $a$ positivo e diverso da 1, ad ogni $y$ positiva corrisponde una ed una sola $x$ e quindi possiamo scrivere $x=log_a y$. Se invece $a=1$ il grafico diventa la retta $y=1$: se $y!=1$ nessuna $x$ soddisfa quella formula e se invece $y=1$ qualsiasi $x$ va bene.
potresti spiegarmi più dettagliatamente per favore la seconda risposta?
Farlo non è facile; forse ti può illuminare un esercizio analogo.
Dimentica per un istante di saper risolvere le equazioni di primo grado; puoi egualmente disegnare la retta di equazione $y=ax+1$. A questo punto noti che per $a!=0$ ad ogni $y$ corrisponde una ed una sola $x$ e quindi puoi concludere "Anche se non so farlo in formula, posso dire che da quella equazione si può ricavare $x$". Se invece fosse $a=0$ otterresti la retta $y=1$ e ti diventa impossibile ricavare $x$ dal disegno; ed infatti, ricordando ora le equazioni di primo grado, sai che in quel caso l'equazione (considerata nell'incognita $x$) è indeterminata o impossibile.
Lo stesso succede per i logaritmi: disegnata la curva $y=a^x$, noti che se $a!=1$ ad ogni $y$ corrisponde una ed una sola $x$, quindi l'equazione (sempre nell'incognita $x$) ha una soluzione a cui do il nome di $log_a y$; se invece $a=1$ l'equazione è indeterminata o impossibile. Questo caso va quindi escluso.
Dimentica per un istante di saper risolvere le equazioni di primo grado; puoi egualmente disegnare la retta di equazione $y=ax+1$. A questo punto noti che per $a!=0$ ad ogni $y$ corrisponde una ed una sola $x$ e quindi puoi concludere "Anche se non so farlo in formula, posso dire che da quella equazione si può ricavare $x$". Se invece fosse $a=0$ otterresti la retta $y=1$ e ti diventa impossibile ricavare $x$ dal disegno; ed infatti, ricordando ora le equazioni di primo grado, sai che in quel caso l'equazione (considerata nell'incognita $x$) è indeterminata o impossibile.
Lo stesso succede per i logaritmi: disegnata la curva $y=a^x$, noti che se $a!=1$ ad ogni $y$ corrisponde una ed una sola $x$, quindi l'equazione (sempre nell'incognita $x$) ha una soluzione a cui do il nome di $log_a y$; se invece $a=1$ l'equazione è indeterminata o impossibile. Questo caso va quindi escluso.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo