Dubbio sui limiti.
Ciao a tutti. Avrei un dubbio:
quando ad esempio devo calcolare il limite per x che tende a infinito di $ sqrt(x+1)-sqrtx$ per fare un esempio sciocco, mi basta portare fuori l'x $sqrtx*sqrt(1+1/x)-sqrtx$ quindi poiche la quantita dentro la prima radice tende a uno è come se restasse $sqrtx-sqrtx$ quindi è zero. Ma con i polinomi, ad esempio $(x+1)^2-x^2$ se io faccio $x^2*(1+1/x)^2-x^2$ la regola che ho detto prima non funziona più perchè quel limite va a infinito per x che tende a infinito. So che questo ultimo limite avrei potuto risolverlo tranquillamente sviluppando (x+1)^2 ma io volevo semplicemente sapere perchè non posso lavorare come nelle radici estraendo il contributo maggiore e poi dicendo beh, poiche $(1+1/x)^2$ tende a 1 allora è come se avessi $x^2-x^2$ che è zero, ma ciò è sbagliato.. Grazie.
quando ad esempio devo calcolare il limite per x che tende a infinito di $ sqrt(x+1)-sqrtx$ per fare un esempio sciocco, mi basta portare fuori l'x $sqrtx*sqrt(1+1/x)-sqrtx$ quindi poiche la quantita dentro la prima radice tende a uno è come se restasse $sqrtx-sqrtx$ quindi è zero. Ma con i polinomi, ad esempio $(x+1)^2-x^2$ se io faccio $x^2*(1+1/x)^2-x^2$ la regola che ho detto prima non funziona più perchè quel limite va a infinito per x che tende a infinito. So che questo ultimo limite avrei potuto risolverlo tranquillamente sviluppando (x+1)^2 ma io volevo semplicemente sapere perchè non posso lavorare come nelle radici estraendo il contributo maggiore e poi dicendo beh, poiche $(1+1/x)^2$ tende a 1 allora è come se avessi $x^2-x^2$ che è zero, ma ciò è sbagliato.. Grazie.
Risposte
Ciao,
il motivo per cui non funziona è che non è una regola. Diciamo che è un caso che venga... Un ragionamento corretto può essere il seguente: prendo $sqrt(x+1)-sqrt(x)$ e lo sviluppo come hai fatto tu. Ottengo $sqrt(x)*sqrt(1+1/x)-sqrt(x)$ ma a questo punto raccolgo $sqrt(x)$ e ho
\[
\sqrt{x}\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}-1\right)
\] Ora la radice tende a infinito, mentre la parentesi tende a $0$. Cioè abbiamo una forma indeterminata $0*oo$ da cui non si può concludere nulla. Stessa cosa ottieni per il secondo, dove arrivi a
\[
x^2\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^2-1\right]
\]
Invece il modo corretto per svolgere il primo è la razionalizzazione inversa:
\[
\sqrt{x+1}-\sqrt{x} = \left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)\cdot \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = \frac{x+1-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}
\] A questo punto ottieni $1/oo$ che effettivamente tende a $0$.
Altrimenti si poteva ragionare a occhio: avvicinandosi all'infinito la differenza tra $x+1$ e $x$ diventa trascurabile, così come la differenza tra $sqrt(x+1)$ e $sqrt(x)$. Quindi il limite della differenza fa $0$. Comunque è meglio non fidarsi troppo...
il motivo per cui non funziona è che non è una regola. Diciamo che è un caso che venga... Un ragionamento corretto può essere il seguente: prendo $sqrt(x+1)-sqrt(x)$ e lo sviluppo come hai fatto tu. Ottengo $sqrt(x)*sqrt(1+1/x)-sqrt(x)$ ma a questo punto raccolgo $sqrt(x)$ e ho
\[
\sqrt{x}\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}-1\right)
\] Ora la radice tende a infinito, mentre la parentesi tende a $0$. Cioè abbiamo una forma indeterminata $0*oo$ da cui non si può concludere nulla. Stessa cosa ottieni per il secondo, dove arrivi a
\[
x^2\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^2-1\right]
\]
Invece il modo corretto per svolgere il primo è la razionalizzazione inversa:
\[
\sqrt{x+1}-\sqrt{x} = \left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)\cdot \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = \frac{x+1-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}
\] A questo punto ottieni $1/oo$ che effettivamente tende a $0$.
Altrimenti si poteva ragionare a occhio: avvicinandosi all'infinito la differenza tra $x+1$ e $x$ diventa trascurabile, così come la differenza tra $sqrt(x+1)$ e $sqrt(x)$. Quindi il limite della differenza fa $0$. Comunque è meglio non fidarsi troppo...
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