Dubbio sui candidati asintoti verticali di una funzione
Salve 
Mi piacerebbe fare chiarezza su un dubbio veramente elementare sullo studio di funzione in Analisi matematica.
Spero che sia la sezione giusta, credo di sì perché si tratta di una questione basilare.
Il mio dubbio è il seguente:
se studiando una funzione mi rendo conto che il suo dominio è, ad esempio:
\[\{x\in \mathbb{R} : -\frac{1}{\sqrt{6}} < x < 0 \vee x > \frac{1}{\sqrt{6}}\} = (-\frac{1}{\sqrt{6}}, 0) \cup (\frac{1}{\sqrt{6}}, +\infty)\]
allora quando vado a individuare i suoi eventuali asintoti verticali devo:
- studiare il limite per \(x \to -\frac{1}{\sqrt{6}}^+\) o anche per \(x \to -\frac{1}{\sqrt{6}}^-\)?
- studiare il limite per \(x \to 0^-\) o anche per \(x \to 0^+\)?
- studiare il limite per \(x \to \frac{1}{\sqrt{6}}^+\) o anche per \(x \to \frac{1}{\sqrt{6}}^-\)?
Il mio dubbio è insomma se devo calcolare i limiti solo dal lato in cui la funzione è definita o anche dall'altro; a rigore di logica io direi che non ha senso calcolarli dove la funzione non è definita, e non so neanche se il limite esista (?)
Vorrei insomma fare chiarezza su questa questione, ed eventualmente capirne anche il perché in modo da colmare le mie lacune.
Grazie
Mi piacerebbe fare chiarezza su un dubbio veramente elementare sullo studio di funzione in Analisi matematica.
Spero che sia la sezione giusta, credo di sì perché si tratta di una questione basilare.
Il mio dubbio è il seguente:
se studiando una funzione mi rendo conto che il suo dominio è, ad esempio:
\[\{x\in \mathbb{R} : -\frac{1}{\sqrt{6}} < x < 0 \vee x > \frac{1}{\sqrt{6}}\} = (-\frac{1}{\sqrt{6}}, 0) \cup (\frac{1}{\sqrt{6}}, +\infty)\]
allora quando vado a individuare i suoi eventuali asintoti verticali devo:
- studiare il limite per \(x \to -\frac{1}{\sqrt{6}}^+\) o anche per \(x \to -\frac{1}{\sqrt{6}}^-\)?
- studiare il limite per \(x \to 0^-\) o anche per \(x \to 0^+\)?
- studiare il limite per \(x \to \frac{1}{\sqrt{6}}^+\) o anche per \(x \to \frac{1}{\sqrt{6}}^-\)?
Il mio dubbio è insomma se devo calcolare i limiti solo dal lato in cui la funzione è definita o anche dall'altro; a rigore di logica io direi che non ha senso calcolarli dove la funzione non è definita, e non so neanche se il limite esista (?)
Vorrei insomma fare chiarezza su questa questione, ed eventualmente capirne anche il perché in modo da colmare le mie lacune.
Grazie
Risposte
La tua idea è giusta: dove la funzione non è definita il limite non esiste. Lo vedi bene se pensi al concetto intuitivo di limite per $x->c$: si danno a $x$ valori sempre più vicini a $c$ e ci si avvicina sempre più al limite. E' chiaro che una funzione non esistente non si può avvicinare a niente.
Ciao, grazie per la risposta
Quindi se ho capito bene per determinare eventuali asintoti verticali devo considerare il limite solo dal lato in cui la funzione è definita, giusto?
Inoltre posso dire in generale che se ho una funzione definita in un intervallo \((a, b)\) posso solo considerare i limiti per \(x\to a^+\) e per \(x\to b^-\). Posso dire che i limiti per \(x\to a^-\) e per \(x\to b^+\) non esistono?
Quindi se ho capito bene per determinare eventuali asintoti verticali devo considerare il limite solo dal lato in cui la funzione è definita, giusto?
Inoltre posso dire in generale che se ho una funzione definita in un intervallo \((a, b)\) posso solo considerare i limiti per \(x\to a^+\) e per \(x\to b^-\). Posso dire che i limiti per \(x\to a^-\) e per \(x\to b^+\) non esistono?
Sì, hai capito bene.
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