Dubbio su una dimostrazione sui numeri razionali
Salve a tutti,
leggendomi un po' di materiale di matematica che ho qui a casa, sono arrivato a questa proposizione:
Se il numero $x$ soddisfa $x^2=2$ allora $x$ non è un numero razionale.
Poi ho la dimostrazione:
Per assurdo, supponiamo che $x=p/q in QQ$ con $p,q in ZZ, q != 0$ e p,q privi di fattori comuni. Elevando al quadrato x, si ottiene
$x^2=x*x=p^2/q^2$
Segue che $p^2=2q^2$, quindi $p^2$ e' un numero pari. Pertanto anche p e' un numero pari, ossia $p=2k$, per un certo intero positivo k. Pertanto $p^2=4k^2=2q^2 rArr sk^2=q^2$ quindi anche $q^2$ e' un numero pari, ne segue che anche q è un numero pari. Siamo arrivati a dedurre che sia p che q sononumeri pari ed hanno quindi un fattore in comune, il numero 2, contraddicendo l'ipotesi che la frazione era ridotta ai minimi termini. L'assurdo e' nato dell'aver supposto x razionale.
Tutto chiaro, eccetto un punto (banale sicuramente, ma non riesco a capire cosa mi sfugge...): la parte in grassetto e sottolineata. Come si arriva a dire che $p^2=2q^2$?
Grazie mille per l'aiuto
Ciao
Francesco
leggendomi un po' di materiale di matematica che ho qui a casa, sono arrivato a questa proposizione:
Se il numero $x$ soddisfa $x^2=2$ allora $x$ non è un numero razionale.
Poi ho la dimostrazione:
Per assurdo, supponiamo che $x=p/q in QQ$ con $p,q in ZZ, q != 0$ e p,q privi di fattori comuni. Elevando al quadrato x, si ottiene
$x^2=x*x=p^2/q^2$
Segue che $p^2=2q^2$, quindi $p^2$ e' un numero pari. Pertanto anche p e' un numero pari, ossia $p=2k$, per un certo intero positivo k. Pertanto $p^2=4k^2=2q^2 rArr sk^2=q^2$ quindi anche $q^2$ e' un numero pari, ne segue che anche q è un numero pari. Siamo arrivati a dedurre che sia p che q sononumeri pari ed hanno quindi un fattore in comune, il numero 2, contraddicendo l'ipotesi che la frazione era ridotta ai minimi termini. L'assurdo e' nato dell'aver supposto x razionale.
Tutto chiaro, eccetto un punto (banale sicuramente, ma non riesco a capire cosa mi sfugge...): la parte in grassetto e sottolineata. Come si arriva a dire che $p^2=2q^2$?
Grazie mille per l'aiuto
Ciao
Francesco
Risposte
perchè avevi come ipotesi che $x^2=2$
aaahhh, ok. grazie!
Effettivamente non avevo collegato l'ipotesi con la dimostrazione... effettivamente sostituendo $x^2$ con il 2, e sviluppando l'equazione $x^2=p^2/q^2$, si, mi viene come dice il libro... chissà dov'ero con la testa...
Grazie mille!
Francesco
Effettivamente non avevo collegato l'ipotesi con la dimostrazione... effettivamente sostituendo $x^2$ con il 2, e sviluppando l'equazione $x^2=p^2/q^2$, si, mi viene come dice il libro... chissà dov'ero con la testa...
Grazie mille!
Francesco
prego! 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo