Dubbio su un problema banale

[clarkk]

in un triangolo ABC si ha CB=3 CA=5 cos (BCA)=5/6 costruito l'angolo ACD consecutivo a BCA e avente ampiezza di 45°, si proiettino sulla semiretta CD il punto B in H e il punto A in K. si determinino la misura del perimetro HBAK e il coseno dell'angolo CBA.
allora, chiamando l'angolo BCA =$gamma$ si ha, utilizzando il teorema del coseno, che :$ (AB)^2=(AC)^2+(BC)^2-2*(AC)*(CB)*cos(gamma)$ da cui AB=3. poi ho utilizzato il teorema del seno: $(CA)/sin(beta)=(AB)/sin(gamma)$ con $beta$ l'angolo CBA. $sin(beta)=(5*sqrt(11))/18$. poichè $sin(gamma)=sqrt(11)/6$ e $ cos(beta)=7/18$ allora è venuto solo con segno opposto..il coseno doveva venire negativo..ho uan lacuna sulla goniometria..lo so che per un seno ci possono essere due coseni e viceversa, ma non mi ricordo come faccio a determinare quale dei due prendere..ad esempio in questo problema...

[Sk_Anonymous]

non sono riuscita s seguire fino in fondo il tuo discorso poiché non capisco come fai a trovarti il coseno noto il seno e a non ottenere entrambi i valori.
Parto dal fatto che $AB=3$, questo implica che il triangolo sia isocele e che quindi $beta=180-2gamma$,
$cosbeta=cos(180-2gamma)=-cos2gamma=-(2cos^2gamma-1)=-(2*25/36-1)=-7/18$
quando ti è possibile cerca di lavorare solo in coseno in modo da non sorvolare il fatto che il triangolo sia ottusangolo.

[clarkk]

non ci avevo pensato...ma ad ogni modo appunto, ottengo due valori..come faccio a scegliere se prendere quello positivo o negativo? ad esempio $cos(gamma)=5/6$ e $sin(gamma)=+-sqrt(11)/6$ in base a cosa scelgo quale prendere?

[Sk_Anonymous]

Se stai lavorando in un triagolo ovviamente il seno deve essre positivo perché l'angolo non può superare i 180°, ma se hai un coseno dovresti considerare entrambi i casi a meno che non ci sia un modo per determinare univocamente il segno. In questo caso il coseno calcolato nel modo che avevi utilizzato tu non permetteva di scegliere quale segno fosse quelllo corretto.

[clarkk]

ah ok..grazie