Dubbio su risultato equazione differenziale lineare

[Maturando]

Ciao ragazzi, risolvendo la seguente equazione lineare non omogenea:

y'+2xy=x, si giunge alla soluzione $y= e^-x^2*[1/2e^x^2 + c]\, da cui poi si passa a:

$y=c*e^-x^2 + 1/2$

Come si ottiene ciò dalla prima uguaglianza?

[GPaolo1]

Si risolve prima l'equazione diff. omogenea $y'+2xy=0$; separando le variabili si ricava: $(y')/y\ =\ -2x$. Integrando si ha: $log y\ =\ -x^2\ +\ C$ ed eliminando il logaritmo $y\ =\ e^(-x^2)\ +\ e^C$. Essendo il termine $e^C$ una costante si può scrivere: $y\ =\ e^(-x^2)\ +\ C$. Ora si deriva nuovamente per trovare il valore della costante...

[Ale1521]

"GPaolo":Si risolve prima l'equazione diff. omogenea $y'+2xy=0$; separando le variabili si ricava: $(y')/y\ =\ -2x$. Integrando si ha: $log y\ =\ -x^2\ +\ C$ ed eliminando il logaritmo $y\ =\ e^(-x^2)\ +\ e^C$. Essendo il termine $e^C$ una costante si può scrivere: $y\ =\ e^(-x^2)\ +\ C$. Ora si deriva nuovamente per trovare il valore della costante...

Il problema della costante non è proprio corretto...
Quando integri $log y=-x^2+c$ ottieni $y=e^(-x^2+c)$, che equivale a $y=e^(-x^2)*e^c$.
Dato che $c$ è una costante, che si chiami $c$, $e^c$, o come vi pare, resta sempre costante e la rischiviamo come $c$.
Quindi diventa $y=c*e^(-x^2)$.
Ciò significa che $c$ è coefficiente di $e^(-x^2)$, e DEVE essere così, perché se dovessi applicare il metodo della variazione della costante di Lagrange ti troveresti con risultati diversi da $y=e^(-x^2)+c$, oltre ad essere comunque sbagliato di per sé .

[GPaolo1]

Ooops! Distrazione. Chiedo venia. E' evidente, altrimenti, quando derivo non posso usare la costante come coefficiente di $e^(-x^2)$