Dubbio su integrazione di funzioni razionali fratte

[oleg.fresi]

Vorrei capire una cosa: quando ho un integrale di funzione razionale fratta, se posso, divido il polinomio al numeratore per quello al denominatore, dopodichè mi riconduco a casi più semplici oppure risolvibili per scomposizione in fratti semplici. I miei dubbi sorgono quando il denominatore è di grado maggiore di due: perchè se per esempio ho un polinomio così: $(2x+3)/((x-1)(x+2)^2)$ lo devo decomporre così: $A/(x-1)+B/(x+2)+C/(x+2)^2$ anzichè così: $A/(x-1)+B/(x+2)^2$. E se ho un polinomio così: $(x-3)/((x+2)(x^2+1))$ perchè lo devo decomporre così: $A/(x+2)+(Bx+C)/(x^2+1)$ e non $A/(x+2)+B/(x^2+1)$? Poi ho letto che si possono risolvere questi integrali con la formula di Hermite e col metodo dei residui.
Potreste chiarirmi questi dubbi, perchè nel libro non ci sono le dimostrazioni di queste regole.

[StellaMartensitica]

Applichi il principio di identità dei polinomi. Poi dipende dall'esercizio. posta un esempio che non ti viene e discutiamone. Il numeratore deve somigliare alla derivata del denominatore.

[oleg.fresi]

No guarda, vanno benissimo gli esempi che ho posto, vorrei capire perchè la frazione si deve decomporre in un ordine crescente come $x+2$ e $(x+2)^2$ e poi perchè invece di una costante si mette $Bx+C$

[axpgn]

Perché funziona !

Se vuoi saperne di più, prova a cercare sul web (p.es. In Wikipedia) "Decomposizione in fratti semplici"

[StellaMartensitica]

@ZFres L'enunciato completo del teorema di decomposizione in fratti è difficile da capire finché non fai un certo numero di esercizi secondo me. Se vuoi io te lo posso riportare qua ma dubito che potresti trarne giovamento. E poi come ha detto axpgn anche su wikipedia è spiegato bene.

[oleg.fresi]

Ho letto, ma sembra essere un argomento di algebra che nei libri non è mai comparso fino agli integrali ( che fanno parte di analisi) tant'è che non c'è neanche dimostrazione, ma si usa solo come hai detto tu perchè funziona, anche se matematicamente parlando non sarebbe accettabile senza dimostrazione.

[StellaMartensitica]

È il principio di identità dei polinomi. È un principio. Però è chiaro che nella decomposizione in fratti semplici a volte è fonte di noie. Penso a denominatori con radici complesse coniugate o radici non semplici.

[oleg.fresi]

Va bene, grazie tante per i chiarimenti!