Dubbio su integrale
Ho visto risolto questo integrale definito : $int_{-1}^{1} 1/((x^2+3)(3^x+1))dx$. L'esercizio viene riolto in questo modo: $int_{-1}^{1} 1/((x^2+3)(3^x+1))dx$ =
$int_{-1}^{0} 1/((x^2+3)(3^x+1))dx + int_{0}^{1} 1/((x^2+3)(3^x+1))dx$. Sul primo integrale viene effettuata la sostituzione $x=-t$ e quindi $dx=-dt$, $int_{1}^{0} -1/((t^2+3)(3^(-t)+1))dt =
int_{1}^{0} -3^t/((t^2+3)(3^t+1))dt$. Poi nell'esercizio come prossimo passaggio c'è scritto:
$int_{0}^{1} 3^x/((x^2+3)(3^x+1))dx$ da cui poi continua... Il fatto è che non capisco come si arrivi all'ultimo passaggio.
Potreste spiegarmelo perfavore?
$int_{-1}^{0} 1/((x^2+3)(3^x+1))dx + int_{0}^{1} 1/((x^2+3)(3^x+1))dx$. Sul primo integrale viene effettuata la sostituzione $x=-t$ e quindi $dx=-dt$, $int_{1}^{0} -1/((t^2+3)(3^(-t)+1))dt =
int_{1}^{0} -3^t/((t^2+3)(3^t+1))dt$. Poi nell'esercizio come prossimo passaggio c'è scritto:
$int_{0}^{1} 3^x/((x^2+3)(3^x+1))dx$ da cui poi continua... Il fatto è che non capisco come si arrivi all'ultimo passaggio.
Potreste spiegarmelo perfavore?
Risposte
Cos'è che non capisci?
Non capisco come sia passato da $int_{1}^{0} -3^t/((t^2+3)(3^t+1))dt$ a
$int_{0}^{1} 3^x/((x^2+3)(3^x+1))dx$
$int_{0}^{1} 3^x/((x^2+3)(3^x+1))dx$
Il meno fa invertire gli estremi di integrazione.
Il nome della variabile non è importante.
Il nome della variabile non è importante.
Si ma per ritornare alla variabile $x$ non dovrebbe fare la sostituzione $t=-x$ ?
"ZfreS":
Si ma per ritornare alla variabile $x$ non dovrebbe fare la sostituzione $t=-x$ ?
Come spiegatoti da gug82, il nome della variabile non è importante. Si dice che la variabile di un integrale è muta. Nel senso che
\[ \int_{0}^{1} \frac{3^x}{(x^2+3)(3^x+1)}dx = \int_{0}^{1} \frac{3^u}{(u^2+3)(3^u+1)}du = \int_{0}^{1} \frac{3^{\text{pippo}}}{(\text{pippo}^2+3)(3^{\text{pippo}}+1)}d\text{pippo} \]
Edit:
Sono d'accordo che è una scelta infelice cambiare il nome della variabile da un passaggio all'altro, soprattutto quando si è partiti da una variabile \(x \) aver fatto un cambio di variabile \( x= - t \), ma sostanzialmente la "\(x\)" nell'ultimo passaggio non è la stessa "\(x\)" iniziale. Se ti confonde nell'ultimo passaggio scrivi semplicemente \(t \) al posto di \(x \).
E l'ultimo passaggio diviene
\[ \int_{1}^{0}- \frac{3^t}{(t^2+3)(3^t+1)}dt = \int_{0}^{1} \frac{3^t}{(t^2+3)(3^t+1)}dt \]
Ora mi è chiaro, ma di fatto si usa la $x$ iniziale con la $x$ finale nei passaggi che non ho scritto. Grazie tante per la spiegazione!
"ZfreS":
...ma di fatto si usa la $x$ iniziale con la $x$ finale nei passaggi che non ho scritto...
Non ho capito questa frase.
Intendevo dire che l'integrale iniziale viene diviso in due integrali: sul primo si fa la sostituzione $x=-t$, poi si ritorna alla "nuova" x e l'integrale con la "nuova" x viene unito all'integrale con la "vecchia" x. Ma se comunque è giusto, l'esercizio necessitava di questo trucchetto per essere risolto.
La variabile in un integrale la puoi chiamare come vuoi, quindi non esistono "vecchia $x$" e "nuova $x$".
C'è $x$ e basta (e potrebbe anche non esserci nulla...).
C'è $x$ e basta (e potrebbe anche non esserci nulla...).
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