Dubbio su integrale

oleg.fresi · 2019-02-11CET17:33:36+01:00

"Ho questo integrale: $int x\//(root(3)(1+x))dx$. Io l'ho risolto ponendo $x+1=t$, per\u00f2 il libro consigliava di porre $x=t^3-1$.\nQuel che non capisco \u00e8 perch\u00e8 pone $x$ anzich\u00e8 $t$. Pi non ho capito perch\u00e8 proprio $t^3-1$. Potreste spiegarmi il perch\u00e8?"

axpgn

11 feb 2019, 16:39

"ZfreS":
Quel che non capisco è perchè pone $x$ anzichè $t$.

Per comodità, perché è più semplice, tanto è la stessa cosa …

"ZfreS":
Pi non ho capito perchè proprio $ t^3-1 $.

Sempre per lo stesso motivo, perché è più semplice calcolarlo ...

Calcolare un integrale non è meccanico come calcolare una derivata, anzi .. è un'arte (cit.

)

oleg.fresi

11 feb 2019, 16:44

Ma il fatto che sia stata fatta la sostuzione con $x=t^3-1$ c'entra con lo sviluppo della differenza tra due cubi?
Di chi è la citazione?

axpgn

11 feb 2019, 16:48

Non c'entra niente la differenza tra cubi, fai quella sostituzione e ti accorgerai immediatamente quanto diventa più facile.

Non so di chi sia la citazione, l'ho letta tante volte … e la condivido pienamente.

oleg.fresi

11 feb 2019, 16:51

Bene, condivido anche io, tuttavia di fronte agli integrali anche un popiù difficili ho trovato la strada, anche se non quella che avrei dovuto. Data la tua esperienza potresti darmi un consiglio su come procedere in generale davanti a un integrale grosso trigonometrico.

axpgn

11 feb 2019, 16:58

Te lo ridico in modo diretto, visto che in modalità soft non ha funzionato: in generale, NON esistono tecniche che vadano sicuramente bene per un tipo di integrale piuttosto che un altro; occorre fantasia, occhio e tanta esperienza … e non è detto che bastino (senza considerare gli integrali che NON si possono "risolvere" in funzioni elementari)

StellaMartensitica

11 feb 2019, 17:10

"axpgn":
NON esistono tecniche che vadano sicuramente bene per un tipo di integrale piuttosto che un altro;

Però esiste una trattazione sistematica.

Per esempio c'è un minimo di classificazione no?

Penso ad un integrale del tipo

$I=int R(x,root(n)(ax+b))dx$

$n in NN, n>=2, a, b in RR, a!=0, R(u,v)$ una funzione razionale.

rientra nella categoria degli integrali razionalizzabili (sostituzione $t=root(n)(ax+b)$).

Sempre in questa categoria ricadono molti tipi di integrali, per esempio

$I=int R(x, sqrt(1+x^2))dx$ con $R(u,v)$ una funzione razionale. Anch'esso può essere risolto sostituendo $x=tg(t)$

Dipende da quanto piace fare questo tipo di schematizzazione al suo docente forse. Però la schematizzazione esiste correggimi se sbaglio.

oleg.fresi

11 feb 2019, 17:18

Bene, grazie per l'aiuto!

axpgn

11 feb 2019, 17:20

"SirDanielFortesque":
Sempre in questa categoria ricadono molti tipi di integrali, per esempio

Cosa significa "molti"? Siccome hai risolto cinquecento esercizi sugli integrali (facili, meno facile, difficili, …, immediati, per parti, per sostituzione, razionali fratti, trigonometrici, … e via dicendo) pensi di averli visti tutti e che tutti rientrino in qualche categoria?
A mio parere, questo è un errore e ancor più "far credere" che la Matematica sia (solo) algoritmi e formule

Peraltro, su 'ste cose c'è sempre un bel dibattito …

StellaMartensitica

11 feb 2019, 17:31

"axpgn":
pensi di averli visti tutti

I sorci verdi dopo tanti esercizi si. Tutti gli integrali no.

Però il 40% è tecnica secondo me. Il resto non so cos'è. Forse come dici tu è arte.

Sempre per esempio se scrivo

$I=intsqrt(x)/(1+root(3)(x))dx$

è la tecnica che mi dice che devo sostituire $x=t^n$ con $n=mcm(2,3)=6$. Se inizio a fare sostituzioni alla carlona mi complico la vita soltanto.

axpgn

11 feb 2019, 17:42

"SirDanielFortesque":
Però il 40% è tecnica secondo me. Il resto non so cos'è. Forse come dici tu è arte.

Vedi, persisti

Dire "40%" non ha nessun senso ...

Se appena appena vai oltre confine (gli esercizi da libro … e Zfres ne ha visti senz'altro meno di te), il territorio si fa sempre più sconosciuto ...

Se io "buttassi lì" a Zfres questo $int e^(x^2) dx$ integrale da risolvere, apparentemente semplice, corro il rischio di farlo diventare matto perché si butterebbe a capofitto nel trovargli una primitiva "normale", invece di fermarsi e chiedersi: "È fattibile?", "A senso cercare una primitiva?", "Tutte le funzioni hanno una primitiva?", e cose simili.
Ad un certo punto (forse anche prima) la Matematica è soprattutto questo e forse è meglio capirlo per tempo ... IMHO

Cordialmente, Alex

oleg.fresi

11 feb 2019, 17:48

Ma come si fà a capire a priori se esiste una primitiva semplice? Nel caso della campana di Gauss(si la conosco) si può dimostrare che non è risolvibile esattamente ma solo approsimativamente?

Obidream

11 feb 2019, 17:53

"SirDanielFortesque":
[quote="axpgn"]pensi di averli visti tutti

I sorci verdi dopo tanti esercizi si. Tutti gli integrali no.

Però il 40% è tecnica secondo me. Il resto non so cos'è. Forse come dici tu è arte.

Sempre per esempio se scrivo

$I=intsqrt(x)/(1+root(3)(x))dx$

è la tecnica che mi dice che devo sostituire $x=t^n$ con $n=mcm(2,3)=6$. Se inizio a fare sostituzioni alla carlona mi complico la vita soltanto.[/quote]
Ci vuole quella che qualcuno chiamava "vedenza"

Comunque in generale basta che la funzione sia continua su $I$ per ammettere una primitiva su $I$, ma questa potrebbe non essere esprimibile in termini finiti mediante funzioni elementari, che è appunto il caso di $e^(-x^2)$

axpgn

11 feb 2019, 17:58

"ZfreS":
Ma come si fà a capire a priori se esiste una primitiva semplice?

E dagli … tu cerchi sempre risposte semplici o quantomeno "schematiche" e "classificabili" ma non è detto che esistano, anzi potrebbero non esistere affatto delle risposte.
Non sei certo l'unico, anzi è abbastanza comune lo studente che cerca una soluzione tipo la formula risolutiva dell'equazione di secondo grado, però se ti interessa la Matematica e se vuoi continuare a studiarla, devia andare oltre questo atteggiamento