Dubbio su funzioni irrazionali (trovare il dominio)

[niere]

Ho un dubbio sulle funzioni irrazionali con indice pari e che presentano un'equazione di secondo grado al denominatore.

Per esempio:

$ y = sqrt [(x+3)/(x^2 - 10x + 25) ] $

io metto tutto maggiore o uguale a zero:

$ y = sqrt [(x+3)/(x^2 - 10x + 25) ] >= 0$

con:

$ x+3 >= 0$
$ x^2 - 10x + 25 > 0$

messo solo > al denominatore perché se mettessi anche uguale a zero, la funzione potrebbe annullarsi

poi svolgo i calcoli separatamente, prima numeratore e poi denominatore:

N: $ x >= - 3$
D: $ x1$ e $x2 = 5$ (il delta dell'equazione è zero)

Il mio dubbio è: nel disegno dei segni, per vedere dove la funzione è positiva, il x1, x2 = 5 lo devo mettere come escluso (cioè diverso da zero) oppure maggiore (cioè con il segno > 0)?
cioè $ x > 5$ oppure $ x != 5$ ?

grazie

(scusate la domanda banale e incasinata, ma sto studiando da sola/privatista, per l'esame di maturità e di matematica sono negata)

[xXStephXx]

Il denominatore è un quadrato perfetto: $(x-5)^2$, quindi devi solo assicurarti che $x!=5$
Il numeratore deve essere positivo (visto che il denominatore è sempre $>0$, anche il numeratore deve essere positivo affinchè l'esressione risulti positiva).
Quindi $x>=-3 ^^ x!=5$

[@melia]

Il trinomio $x^2-10x+25$ e sempre maggiore di 0 tranne in $5$ in cui vale 0, perciò devi disegnarlo tutto positivo escludendo il punto 5 in cui non esiste.
Puoi risolverlo anche così:
$x^2-10x+25=(x-5)^2$ in questo modo vedi subito che è un quadrato, perciò non è mai negativo, ed è positivo quasi sempre, ad esclusione del valore 5 in cui si annulla.

[niere]

Grazie delle risposte, quindi posso scrivere:

$D = cc(R) - { 5 }$ ?

Edit: no, c'è il -3 però


Edit2: la funzione esiste da -3 incluso fino a +infinito, escludendo 5 forse?

quindi C.E. [ - 3 ; 5) U (5 ; +infinito)

con 5 escluso

[@melia]

"esmeralda881": quindi C.E. [ - 3 ; 5) U (5 ; +infinito)
con 5 escluso

Esatto

[niere]

Ok, alla fine ci sono arrivata :\

Invece in questa:

$ sqrt((x^2 - 7x + 12) / x) $

- ho, come prima, posto il radicando con $>= 0$,
- poi svolto numeratore (che viene $x1=4$ e $ x2=3$)
- messo denominatore $x != 0$


ho fatto il disegno della parabola e mi risulta:

$x < 3$ U $x > 4$ è positiva

$3 < x < 4$ è negativa

in $x = 0$ si annulla


quindi C.E. ($- oo$ ; 3 ] U [4 ; $+ oo$ ) ?

perché 3 e 4 non sono esclusi, è solo l'intervallo in cui è negativa la funzione



se invece fossero stati i due punti in cui si annulla, dovevo mettere C.E. ($- oo$; 3 ) U (3 ; 4) U (4 ; $+ oo$) ?

grazie mille!!!

[nicolaflute]

Qua credo sia sbagliato perechè al denominatore c'è [tex]\sqrt{x}[/tex] perttanto devi porlo > di zero e non diverso .
per cui la disequazione che dovresti analizzare è [tex](x^2-7x+12) \geq 0[/tex] dove il risultato è [tex]x\leq 3 \vee x\geq 4[/tex] e sotto [tex]x>0[/tex] e le soluzioni sono
[tex]0

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Segnala

[leena1]

"esmeralda881":quindi C.E. ($- oo$ ; 3 ] U [4 ; $+ oo$ ) ?

perché 3 e 4 non sono esclusi, è solo l'intervallo in cui è negativa la funzione

Una radice può avere sia l'argomento positivo che l'argomento nullo (=0)...
Quindi i valori che ti annullano la frazione vanno bene.
Attenzione: quelli che ti annullano l'intera frazione e quindi nel tuo caso 3 e 4, altra cosa sono i valori che ti annullano il denominatore della frazione.

"esmeralda881":se invece fossero stati i due punti in cui si annulla, dovevo mettere C.E. ($- oo$; 3 ) U (3 ; 4) U (4 ; $+ oo$) ?

grazie mille!!!

Si, ti riporto un esempio del genere:
$f(x)=1/((x-3)(x-4))$

[niere]

"leena":
Si, ti riporto un esempio del genere:
$f(x)=1/((x-3)(x-4))$

in questo caso cosa dovrei fare? sviluppare la moltiplicazione che è al denominatore e poi trovare le soluzioni dell'equazione di secondo grado? oppure mettere direttamente $x-3 != 0$ e $x-4!=0$ ?

[nicolaflute]

Svolgere i calcoli secondo me è uno sforzo in più conviene mettere subito [tex]x-3\neq0[/tex] e [tex]x-4\neq0[/tex]