Dubbio su funzioni invertibili

[Marco1985Mn]

Anche qui piccolo dubbio (stupido) sulle funzioni invertibili, monotone, crescenti e decrescenti





f1 è monotona crescente
f2 nell'intervallo considerato è crescente e poi decrescente
f3 nell'intervallo considerato è dapprima crescente, poi decrescente e di nuovo crescente
f4 è monotona decrescente.
le uniche invertibili sono le funzioni che ammettono una sola y per ogni x, quindi la f1 e la f4 - corretto?
Grazie

p.s l'inversa dell'asse x è l'asse y giusto?

[@melia]

Per quanto riguarda le funzione $f_1, f_2, f_3$ e $f_4$ va tutto bene.

Il ps, invece, non è corretto. Se pensiamo agli assi cartesiani come funzioni di x in y, l'asse x non è invertibile, mentre l'asse y non è neppure una funzione.

[Marco1985Mn]

"@melia":Per quanto riguarda le funzione $f_1, f_2, f_3$ e $f_4$ va tutto bene.

Il ps, invece, non è corretto. Se pensiamo agli assi cartesiani come funzioni di x in y, l'asse x non è invertibile, mentre l'asse y non è neppure una funzione.

hai ragione..non posso fare l'inversa di $0^(-1)$

[@melia]

Non confondere la funzione inversa con il reciproco di un numero

[Marco1985Mn]

"@melia":Non confondere la funzione inversa con il reciproco di un numero

Giusto, una funzione è un'associazione univoca tra x e y. Pertanto una retta di equazione x=k
non è una funzione.corretto?
idem per y=k o meglio questa sarebbe una funzione suriettiva no?

[Mephlip]

"Marco1005":Pertanto una retta di equazione x=k non è una funzione.corretto?

Corretto, ma diciamolo per bene (metto in spoiler per non appesantire, potrebbe essere troppo specifico per quello che ti serve).

Fissato $k\in\mathbb{R}$, la retta di equazione cartesiana $x=k$ è una relazione in $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$: ossia, è un sottoinsieme del prodotto cartesiano $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ (un prodotto cartesiano $A\times B$, in parole povere, sono le coppie ordinate la cui prima coordinata è un elemento di $A$ e la seconda è un elemento di $B$). In particolare, la retta di equazione $x=k$ individua tutti i punti del piano $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ ad $x$ fissata pari a $k$. Ossia, è la relazione $R$ su $\{x\} \times \mathbb{R}$ definita ponendo $(x,y_1)R(x,y_2)$ se e solo se $x=k$. Quindi, dato che ad una stessa $x$ nel piano sono associate infinite $y$ (ricorda che siamo immersi nel piano $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$, quindi se $y$ non compare nella condizione $x=k$ significa che $y$ è arbitraria), la relazione proposta non è una funzione.

"Marco1005":idem per y=k o meglio questa sarebbe una funzione suriettiva no?

Questa frase è un po' ambigua. Prima chiedi conferma sul fatto che la retta di equazione cartesiana $x=k$ non determina una funzione sottintendendo, quindi, che secondo te $x=k$ non è una funzione (corretto, come appena detto sopra); poi, contraddittoriamente, dici "idem per $y=k$, o meglio questa sarebbe una funzione suriettiva". Ma se $x=k$ non è una funzione e perciò, per il tuo "idem", neanche $y=k$ dovrebbe esserlo (secondo il tuo ragionamento), come fa ad essere un particolare tipo di funzione (ossia, una funzione suriettiva)? L'errore sta nel fatto che l'equazione cartesiana $y=k$ è il grafico una funzione. O con "idem" intendi che anche $y=k$ deve soddisfare la definizione di corrispondenza univoca? Se intendevi questo, allora torna tutto.

Fissato $k\in\mathbb{R}$, l'equazione cartesiana $y=k$ si può vedere come il grafico della funzione $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ di corrispondenza $f(x)=k$. Ossia, l'equazione cartesiana $y=k$ della retta orizzontale individuata dall'ordinata $k$ è il grafico della funzione costantemente uguale a $k$ per ogni $x\in\mathbb{R}$. È effettivamente una funzione, perché ad ogni $x$ reale viene associato un unico $y$ reale (ovvero, ad ogni $x$ reale è associato solamente il valore $k$). Così definita, $f$ non è suriettiva perché il suo codominio è $\mathbb{R}$ e la sua immagine è $\{k\}$. Invece, vista come $g:\mathbb{R}\to\{k\}$ definita ponendo $g(x)=k$, si ha che $g$ è suriettiva. Non ha senso chiedersi la suriettività se non si definisce correttamente una funzione (ossia dando dominio, codominio e corrispondenza tra i due).

[Marco1985Mn]

Grazie per la risposta. Intendevo proprio che ad ogni x appartiene una sola y, pertanto y=k risulta essere una funzione.
Leggendo che le funzioni per essere invertibili devono essere biunivoche, allora y=k non può essere invertita.
Non ho ben chiaro però il concetto per cui la funzione non sarebbe suriettiva

[Mephlip]

Prego! Ti consiglio di rileggere questo mio messaggio. Forse, ora ti risulta più digeribile. Stiamo sempre lì: avere ben presente la differenza tra codominio di una funzione e immagine di una funzione.

Se come codominio di $f_1(x)=k$ scegli $\mathbb{R}$, $f_1$ non è suriettiva; se come codominio di $f_2(x)=k$ scegli l'insieme $\{k\}$ (ossia, l'insieme avente come unico elemento il numero $k$), allora $f_2$ è suriettiva. Questo perché suriettività significa che il codominio coincide con l'immagine; dato che $f_1$ ed $f_2$ hanno stesso dominio e stessa legge di assegnazione, le loro immagini sono uguali e tali immagini sono l'insieme $\{k\}$. Ma $f_1$ l'ho definita con codominio $\mathbb{R}$, quindi il codominio di $f_1$ non coincide con la sua immagine. Invece, $f_2$ l'ho definita con codominio $\{k\}$ e quindi il codominio di $f_2$ coincide con la sua immagine.

[Marco1985Mn]

"Mephlip":Prego! Ti consiglio di rileggere

Ti ringrazio, ricordo bene quel commento .
Il problema è che nella dispensa universitaria la domanda era molto generica. "l'asse x e l'asse y sono invertibili?", non veniva fatta nessuna di queste precisazioni.
Pertanto rimanendo sul generico ho pensato che avendo un insieme di immagini sempre fisso a valore "k" la funzione non potesse essere altro che suriettiva, e quindi non invertibile.
In alcuni libri di testo ho proprio visto scritto "codominio = immagine" e questo ogni volta genera confusione. Il codominio da quello che ho capito contiene l'insieme delle immagini, quindi immagine è sottoinsieme di codominio. Ma nel mio caso ho proprio pensato come valori della funzione "solo k" intendendolo come parte del codominio. un pò confusionaria come spiegazione