Dubbio su equazione differenziale

[oleg.fresi]

Mi è sorta una domanda riguardo le equazioni differenziali (una tra le tante possibili): un'edo elementare come: $y'=f(x)$ si risolve integrando entrambi i membri. E' vero che è un'equazione, ma non esiste un principio che dice che integrando entrambi i mebri di un'equazione si ottiene un'equazione equivalente. Potreste spiegarmi perchè si può fare comunque?

[gugo82]

Se due funzioni (continue) sono uguali, le loro funzioni integrali con lo stesso punto iniziale coincidono.

[oleg.fresi]

Perfetto!

[@melia]

osserva che gugo ha detto con lo stesso punto iniziale. Cosa che io ti sottolineo.

[oleg.fresi]

Ma è un teorema o no? Perchè nel libro non c'è questo dettaglio.

[gugo82]

Più che Teorema è un’ovvietà.
Se due funzioni sono uguali, anche i loro integrali definiti sono uguali.

[oleg.fresi]

Ah va bene.

[marco2132k]

Cosa di quello che c'è scritto qua non ti piace?

Aggiungo:
https://math.stackexchange.com/questions/2575277/when-is-it-allowed-to-do-operations-like-differentiating-both-sides-integrat?rq=1

https://math.stackexchange.com/questions/407822/differentiating-both-sides-of-an-equation?noredirect=1&lq=1