Dubbio su dx
Salve a tutti, sto studiando gli integrali e mi sto portando dietro questa domanda da un po.Prendiamo per esempio la funzione
$ int cos^2xsinx dx $
Allora io so che $dx$ rappresenta una quantità molto piccola ( mi è stato detto che è un "numero" maggiore di zero ma più piccolo di qualsiasi altro numero positivo, credo per farmi capire cosa si intendesse con infinitesimo, se mi è stata data una informazione errata vi prego di farmelo presente
)
Ora, la mia domanda è questa.Questo è ok
$ cosx = t $
Ma perchè questo è lecito?
$sinxdx = dt$
Per poi ottenere quindi $1/3 cos^3x +c $
Cioè in pratica il mio dubbio è questo: che fine fa sinx?
Mi hanno suggerito che devo tenere presente la derivata di un prodotto, ma non riesco a capire. Grazie mille in anticipo
$ int cos^2xsinx dx $
Allora io so che $dx$ rappresenta una quantità molto piccola ( mi è stato detto che è un "numero" maggiore di zero ma più piccolo di qualsiasi altro numero positivo, credo per farmi capire cosa si intendesse con infinitesimo, se mi è stata data una informazione errata vi prego di farmelo presente
)Ora, la mia domanda è questa.Questo è ok
$ cosx = t $
Ma perchè questo è lecito?
$sinxdx = dt$
Per poi ottenere quindi $1/3 cos^3x +c $
Cioè in pratica il mio dubbio è questo: che fine fa sinx?
Mi hanno suggerito che devo tenere presente la derivata di un prodotto, ma non riesco a capire. Grazie mille in anticipo
Risposte
Più che la derivata del prodotto parlerei della regola della catena ... comunque è un discorso spinoso e formalmente mi viene difficile ...
Detto in termini semplici quando nell'integrale fai una sostituzione in pratica derivi entrambe le parti, separatamente, e il $dx$/$dt$ è l'ultimo anello della catena (nell'esempio che hai fatto il $sin(x)$ non è che sparisce ma semplicemente hai sostituito tutto il blocco $sin(x)\ dx$ con $dt$ i quali a loro volta sono frutto della derivazione dei membri originari $D(cos(x))=sin(x)\ dx$ e $D(t)=1\ dt$)
A legittimare questi passaggi ci sono dei teoremi sottostanti che sarebbe bello conoscere ...
Cordialmente, Alex
Detto in termini semplici quando nell'integrale fai una sostituzione in pratica derivi entrambe le parti, separatamente, e il $dx$/$dt$ è l'ultimo anello della catena (nell'esempio che hai fatto il $sin(x)$ non è che sparisce ma semplicemente hai sostituito tutto il blocco $sin(x)\ dx$ con $dt$ i quali a loro volta sono frutto della derivazione dei membri originari $D(cos(x))=sin(x)\ dx$ e $D(t)=1\ dt$)
A legittimare questi passaggi ci sono dei teoremi sottostanti che sarebbe bello conoscere ...
Cordialmente, Alex
Grazie mille della risposta
Ora ho un po capito meglio la cosa, è che gli esempi mi venivano sempre proposti come "semplifica fino a ottenere una x .. pulita, e imponi dx = derivatabrutta dvariabile" senza capire bene perchè.
Ora ho un po capito meglio la cosa, è che gli esempi mi venivano sempre proposti come "semplifica fino a ottenere una x .. pulita, e imponi dx = derivatabrutta dvariabile" senza capire bene perchè.
Che cosa vuol dire "derivata brutta" ?
Il $dx$ è il differenziale della $x$. Se consideri il cambio di variabile $x=cost$ e fai il differenziale di entrambi i membri ottieni a primo membro $1*dx$ e a secondo membro $-sin t *dt$, quindi uguagliando i due differenziali $1*dx= -sin t *dt$
@axpgn beh, tutte quelle che non mi permettono di fare cose come ad esempio $int sqrt(g) * g * 1/sqrt(g) dg$
@melia, grazie, mica avresti qualche risorsa online che spiega per bene il concetto di differenziale?
Poi se qualcuno ha voglia di spiegarmelo meglio dirittamente, sono tutt'orecchi
Purtroppo dal libro non riesco a capire benissimo la cosa :
@melia, grazie, mica avresti qualche risorsa online che spiega per bene il concetto di differenziale?
Poi se qualcuno ha voglia di spiegarmelo meglio dirittamente, sono tutt'orecchi
Purtroppo dal libro non riesco a capire benissimo la cosa :
"caffeinaplus":
risorsa online che spiega per bene il concetto di differenziale?
non so se il concetto di analisi non standard possa essere troppo avanzato o meno. comunque potresti dare una letta alla pagina di wikipedia.
@cooper: non mi ha chiarito moltissimo le idee, però è stato comunque interessante da leggere grazie mille
Mi pare di capire che, per ora, devo farmi bastare quello che so, per poi riuscire a comprendere meglio il tutto?
Mi pare di capire che, per ora, devo farmi bastare quello che so, per poi riuscire a comprendere meglio il tutto?
"caffeinaplus":
Purtroppo dal libro non riesco a capire benissimo la cosa :
Non sei mica l'unico ...
... nel Forum ci sono decinaia di thread sull'argomento ( ), se vuoi approfondire prova a cercarli ma l'argomento rimane ostico ... e poi è interessante osservare come lo "trattano" in modo diverso matematici, fisici e ingegneri ... L'analisi non standard è un mondo decisamente interessante ma concettualmente è del tutto diverso dall'analisi che stai studiando (quella standard appunto ...
), quindi non so quanto ti possa essere utile ...Cordialmente, Alex
Per carità, siamo nella sezione per gli studenti di scuola superiore... Evitiamo di tirare fuori l'Analisi non standard che non aiuta affatto a capire il concetto di cambiamento di variabile dentro un integrale.
Ti basti sapere quello che ha scritto Amelia e ricorda che quella di differenziare non è altro che una regoletta mnemonica per cambiare correttamente variabile dentro l'integrale. Il teorema preciso che giustifica questa regoletta non è affatto astruso e si vede solitamente nei primissimi corsi di Analisi all'Università. Anche in questo ambito più rigoroso non si esige di attribuire a "$dx$" un significato particolare (è un simbolo e basta).
"caffeinaplus":
Mi pare di capire che, per ora, devo farmi bastare quello che so, per poi riuscire a comprendere meglio il tutto?
Ti basti sapere quello che ha scritto Amelia e ricorda che quella di differenziare non è altro che una regoletta mnemonica per cambiare correttamente variabile dentro l'integrale. Il teorema preciso che giustifica questa regoletta non è affatto astruso e si vede solitamente nei primissimi corsi di Analisi all'Università. Anche in questo ambito più rigoroso non si esige di attribuire a "$dx$" un significato particolare (è un simbolo e basta).
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