Dubbio su derivata
Ho questa funzione: $-ln(1/x^2)$
La derivata si potrebbe calcolare così $y'=-(1/(1/x^2)*-2/x^3)$ che diventa $y'=2x^2/x^3$ e infine $y'=2/x$.
Però se provassi così: $1/x^2=t$, $y=-ln(t)$ e la derivata $y'=-1/t$ e tornando a $x$ $y'=-x^2$. Penso di aver applicato un procedimento corretto, ma porta a un errore, vuol dire che c'è qualcosa che non và. Potreste aiutarmi a capire perchè ho sbagliato? La stessa cosa succede se derivo applicando la regola dell'esponente.
La derivata si potrebbe calcolare così $y'=-(1/(1/x^2)*-2/x^3)$ che diventa $y'=2x^2/x^3$ e infine $y'=2/x$.
Però se provassi così: $1/x^2=t$, $y=-ln(t)$ e la derivata $y'=-1/t$ e tornando a $x$ $y'=-x^2$. Penso di aver applicato un procedimento corretto, ma porta a un errore, vuol dire che c'è qualcosa che non và. Potreste aiutarmi a capire perchè ho sbagliato? La stessa cosa succede se derivo applicando la regola dell'esponente.
Risposte
Ieri avevi scritto giustamente che la derivata di $y=-ln(t)$ è $y'=-1/t*t'$.
Ora se $t$ è una funzione di un'altra variabile, quando vai a risostituire, devi sostituire anche $t'$; in questo caso dato che conosci cosa è $t$ (l'hai definita tu) puoi tranquillamente calcolarla.
Ora se $t$ è una funzione di un'altra variabile, quando vai a risostituire, devi sostituire anche $t'$; in questo caso dato che conosci cosa è $t$ (l'hai definita tu) puoi tranquillamente calcolarla.
Ah ecco, perchè in questo caso mi ricondurrei sempre alla derivata di una funzione composta, e quindi devo applicare la solita regola, giusto?
Sì, è una funzione composta.
Perfetto, problema risolto, ma avrei ancora un dubbio sul significato in sè della derivata.
La derivata rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente a una funzione in un punto, ma quando derivo una funzione, io non trovo un numero, ma un'altra funzione. Che legame c'è tra la funzione derivata e il coefficiente angolare?
La derivata rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente a una funzione in un punto, ma quando derivo una funzione, io non trovo un numero, ma un'altra funzione. Che legame c'è tra la funzione derivata e il coefficiente angolare?
No, aspetta ... la derivata è il limite del rapporto incrementale di una funzione in un punto.
Quindi se il limite esiste finito la derivata è un numero.
La funzione derivata invece è quella funzione (se esiste) che associa ad ogni punto del dominio della funzione primitiva la sua derivata (sua del punto, calcolata come detto sopra).
Quindi se il limite esiste finito la derivata è un numero.
La funzione derivata invece è quella funzione (se esiste) che associa ad ogni punto del dominio della funzione primitiva la sua derivata (sua del punto, calcolata come detto sopra).
Quindi la funzione derivata è l'insieme dei punti per cui è stato fatto il limite del rapporto incrementale?
mmmm ... diciamo che il dominio della funzione derivata è l'insieme dei punti del dominio della primitiva per cui è possibile calcolare il limite del rapporto incrementale ... però va trovata anche una "legge di corrispondenza" che ti permetta di calcolare "direttamente" il valore del rapporto incrementale partendo dal punto del dominio, altrimenti saresti costretto a calcolarti ogni volta il limite del rapporto incrementale.
Ok, ma se io prendessi questa funzione $y=2x^2+5$ e calcolassi la derivata prendendo tanti punti a caso, otterrei una retta, che se derivassi con la regola della potenza scoprirei essere $y'=4x$
Diciamo di sì ...
Perfetto, grazie tante per i chiarimenti!
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