Dubbio soluzione di equazione trigonometrica

[lukixx]

Buongiorno,
per lavoro impartisco ripetizioni di matematica e fisica a ragazzi del triennio del liceo scientifico, uno di questi giorni mi è capitato il seguente esercizio che in prima battuta non ricordavo come risolvere:

$ tan(2x)-cot(3/2x)=0 $

La soluzione, dopo tanti tentativi, era banalmente un' applicazione dei cosiddetti archi associati:
$ tan(2x)=cot(3/2x)=tan(pi/2-3/2x) $
da qui la soluzione è immediata.

Il vero dubbio che mi è sorto è un altro. In uno dei tentativi per la soluzione di questo esercizio ho applicato la formula della tangente della somma in questa maniera:
$ tan(alpha+beta)=(tan(alpha)+tan(beta))/(1-tan(alpha)tan(beta))<=>tan(alpha+beta)*(1-tan(alpha)tan(beta))=(tan(alpha)+tan(beta)) $
quindi, manipolando un po' l' equazione in maniera semplice viene fuori che
$ 1-tan(2x)tan(3/2x)=0 <=> (1)(1-tan(2x)tan(3/2x))=0 $
e confrontando i due risultati ho posto
$ { ( tan(2x)+tan(3/2 x) = 0),( tan(2x+3/2 x) = 1):} $
tuttavia trovando un risultato sbagliato. Mi chiedo cosa ci sia di sbagliato, dove sia l'errore, perchè mi sembra in prima battuta un modo coerente di porre il problema

[@melia]

Scusami, ma non capisco chi sono $alpha $ e $beta$, se fossero $alpha=2x$ e $beta= 3/2x$ la formula di somma non sarebbe applicabile perché avrebbe il denominatore nullo.