Dubbio risultato equazione irrazionale

[Marco1985Mn]

Buona sera,
vorrei fare una riflessione su questa semplice equazione irrazionale

$x-17=sqrt(169-x^2)$

imposto c.e. $-13<=x<=+13$

risolvo elevando al quadrato entrambi i membri e ottengo

$2x^2-34x+120=0$

divido per due

$x^2-17+60=0$

$x_1=12;x_2=5$

le due soluzioni rientrano nel campo di esistenza della radice.

a questo punto se sostituisco $x_1$ nell'equazione mi risulta

$12-17=sqrt(25)$

secondo quanto già spiegato da tutti voi più e più volte, la radice di un numero è sempre positiva (al contrario la radice quadrata di $x^2$ è il modulo di x)

Pertanto $-5!=sqrt(25)$ , il risultato è pertanto impossibile.

ma se l'equazione fosse stata scritta in questo modo:

$x-17=+-sqrt(169-x^2)$

avrei ottenuto 4 soluzioni di cui 2 accettate e 2 scartate?
per $x=12$ e $x=5$avrei ottenuto in ordine:

$-5=+sqrt(25)$ non accettata
$-5=-sqrt(25)$ accettata
$-12=+sqrt(144)$ non accettata
$-12=-sqrt(144)$ accettata

Grazie mille

[axpgn]

$f(x)=sqrt(g(x))$


${(g(x)>=0),(f(x)>=0),((f(x))^2=g(x)):}$

[@melia]

Non hai tenuto conto del fatto che elevare al quadrato non è un principio di equivalenza delle equazioni e puoi applicarlo solo se entrambi i membri hanno lo stesso segno. Quindi esistenza della radice quadrata, concordanza dei segni dei due membri, il secondo è positivo perciò lo deve essere anche il primo, con queste condizioni puoi elevare alla seconda. Il tutto è riassunto nell’intervento di axpgn.

[Marco1985Mn]

"@melia":Non hai tenuto conto del fatto che elevare al quadrato non è un principio di equivalenza delle equazioni e puoi applicarlo solo se entrambi i membri hanno lo stesso segno. .

Hai ragione, ho sempre dato per scontato che elevare al quadrato entrambi i membri fosse come moltiplicare entrami i membri per la stessa quantità; mentre elevando al quadrato il membro di sinistra diventa positivo ma in origine era negativo.

Se però l'esercizio fosse stato scritto come ho ipotizzato allora le soluzioni da me scritte potrebbero essere corrette?
Grazie mille

[@melia]

Certo, ma difficilmente lo trovi scritto così $x-17=+-sqrt(169-x^2)$

Piuttosto lo trovi così $|x-17|=sqrt(169-x^2)$

[Marco1985Mn]

"@melia":Certo, ma difficilmente lo trovi scritto così $x-17=+-sqrt(169-x^2)$

Piuttosto lo trovi così $|x-17|=sqrt(169-x^2)$

si si vero, mai visto scritto così ma era ai fini didattici per finire nei miei 1800 screenshoot
grazie ancora