Dubbio risoluzione equazione logaritmica

[Marco1985Mn]

Buona sera,
posto questo facile esercizio che però mi lascia perplesso nella risoluzione.
$2log_5(x^2-1)=1$

imposto la c.e
$(x^2-1)^2>0$
$x!=+-1$

riscrivo il tutto come:

$log_5(x^2-1)^2=log_5(5)$

$(x^2-1)^2=5$

$x^4-2x^2+1-5=0$

pongo $t=x^2$

$t^2-2t-4=0$

da cui ottengo
$t_1=1+sqrt(5)$
$t_2=1-sqrt(5)$

pongo $x^2=1+sqrt(5)$
pongo $x^2=1-sqrt(5)$
la seconda è impossibile,
per quanto riguarda la prima devo risolverla con i radicali doppi?
chiedo perchè la ragazza che seguo non ha mai svolto esercizi con radicali doppi.
La seguo tre volte a settimana e in tutti gli esercizi fatti non sono mai comparsi.
Questo era un esercizio della sua verifica e mi è sembrato strano. C'è un modo alternativo
di risolverlo senza i radicali doppi?
Grazie

[@melia]

Marco, accipicchia, il dominio va fatto sul testo originale, non su un testo modificato!
$x^2-1>0$

[Marco1985Mn]

"@melia":Marco, accipicchia, il dominio va fatto sul testo originale, non su un testo modificato!
$x^2-1>0$

beh @melia però è solo un modo diverso di riscrivere la stessa cosa, io sto solo sfruttando le proprietà dei logaritmi. Se il testo originario fosse stato $log_5(x^2-1)^2$ avrei fatto il dominio su quello.
Non posso snaturare il logaritmo togliendo il quadrato, è co,e se facessi lo studio del segno su $(x-1)^2>0$
e applicassi la radice ambo i membri, non sarebbe corretto fare lo studio solo su $x-1>0$ ma andrebbe considerata la potenza nel suo complesso, a maggior ragione se potenza di indice pari....sono perplesso
Per il resto devo applicare i radicali doppi?

[moccidentale]

.

[Marco1985Mn]

"sellacollesella":[quote="Marco1005"]è solo un modo diverso di riscrivere la stessa cosa

Non è la stessa cosa, in quanto:

[*:2rq9zt6e] l'equazione \(2\log_5(x^2-1)=1\) ha senso per \(x<-1\,\vee\,x>1\);

[/*:m:2rq9zt6e]
[*:2rq9zt6e] l'equazione \(\log_5\left[(x^2-1)^2\right]=1\) ha senso per \(x \ne -1 \,\land\,x\ne 1\).[/*:m:2rq9zt6e][/list:u:2rq9zt6e]
Solo dopo aver fissato le condizioni di esistenza si ha il permesso di applicare qualsiasi proprietà.
[/quote]

Si si lo so che sono diversi, ma appunto per questo io avrei analizzato il logaritmo nel suo complesso compreso di potenza. è sbagliato farlo così? quando ho un numero davanti al logaritmo per fare le condizioni di esistenza lo porto sempre a esponente.

[Martino]

Marco, l'uguaglianza $log(a^2)=2 log(a)$ è vera se $a > 0$, ma è ovviamente falsa se $a le 0$.

Se $a < 0$ allora si ha $log(a^2)=2 log(-a)$.

In generale $log(a^2)=2 log(|a|)$ se $a ne 0$.

[Marco1985Mn]

"Martino":Marco, l'uguaglianza $log(a^2)=2 log(a)$ è vera se $a > 0$, ma è ovviamente falsa se $a le 0$.

Se $a < 0$ allora si ha $log(a^2)=2 log(-a)$.

In generale $log(a^2)=2 log(|a|)$ se $a ne 0$.

Martino perdona l'ignoranza ma appunto perchè sono due cose diverse, qual'è la "ratio" per analizzare uno piuttosto che l'altro? se io svolgessi il quadrato di binomio andrei a controllare dove la biquadratica è maggiore di zero

[moccidentale]

.

[Marco1985Mn]

"sellacollesella":[quote="Marco1005"]qual è la "ratio"

Assegnata l'equazione: \[
2\log_5(x^2-1)=1
\] innanzitutto si fissano le condizioni di esistenza: \[
x^2-1>0 \quad\Leftrightarrow\quad x<-1\,\vee\,x>1
\] e solo dopo si possono applicare le proprietà dei logaritmi: \[
\log_5\left[(x^2-1)^2\right]=1 \quad\Leftrightarrow\quad (x^2-1)^2=5 \quad\Leftrightarrow\quad x=\pm\sqrt{1+\sqrt{5}}
\] che essendo entrambe accettabili sono le due soluzioni dell'equazione.[/quote]

Ok, chiaro.
prendo quello che mi da (visto che sono due cose diverse, in base al testo analizzo quello punto e stop)
Grazie mille