Dubbio risoluzione equazione goniometrica
Rieccomi con un problema su equazioni trigonometriche
$cosx-sinx=1$
L’esercizio mi consiglia di utilizzare gli archi associati; bene ci provo
Trasformo il seno in coseno
$cosx - (cos(pi/2)+x)=1$
Ma adesso non so come continuare
Ha senso trasformare il seno in coseno in questo modo o è inutile.
Grazie mille
$cosx-sinx=1$
L’esercizio mi consiglia di utilizzare gli archi associati; bene ci provo
Trasformo il seno in coseno
$cosx - (cos(pi/2)+x)=1$
Ma adesso non so come continuare
Ha senso trasformare il seno in coseno in questo modo o è inutile.
Grazie mille
Risposte
"Marco1005":
Rieccomi con un problema su equazioni trigonometriche
$cosx-sinx=1$
L’esercizio mi consiglia di utilizzare gli archi associati; bene ci provo
Trasformo il seno in coseno
$cosx - (cos(pi/2)+x)=1$
Ma adesso non so come continuare
Ha senso trasformare il seno in coseno in questo modo o è inutile.
Grazie mille
Provo a fare qualche calcolo. Se non mi leggi sarò svenuto per la complessità delle operazioni!
"Marco1005":
Rieccomi con un problema su equazioni trigonometriche
$cosx-sinx=1$
L’esercizio mi consiglia di utilizzare gli archi associati; bene ci provo
Trasformo il seno in coseno
$cosx - (cos(pi/2)+x)=1$
Ma adesso non so come continuare
Ha senso trasformare il seno in coseno in questo modo o è inutile.
Grazie mille
Potresti provare ad utilizzare l'identità fondamentale $sin^2x + cos^2x=1$.
Quindi eleva al quadrato entrambi i membri: $cos^2x = (1 + sinx)^2$ ... puoi continuare
Per elevare al quadrato, entrambi i membri devono avere lo stesso segno, quindi dato che un membro è positivo lo deve esser anche l'altro ovvero la soluzione è compresa tra $-3/4pi<=x<=1/4pi$ (+ periodicità).
Elevando al quadrato abbiamo $-2sin(x)cos(x)=0$ da cui, date le condizioni di esistenza, abbiamo le soluzioni $x=0$ e $x=-pi/2$ (+ periodicità)
IMHO
Elevando al quadrato abbiamo $-2sin(x)cos(x)=0$ da cui, date le condizioni di esistenza, abbiamo le soluzioni $x=0$ e $x=-pi/2$ (+ periodicità)
IMHO
"axpgn":
Per elevare al quadrato, entrambi i membri devono avere lo stesso segno, quindi dato che un membro è positivo lo deve esser anche l'altro ovvero la soluzione è compresa tra $-3/4pi<=x<=1/4pi$ (+ periodicità).
Elevando al quadrato abbiamo $-2sin(x)cos(x)=0$ da cui, date le condizioni di esistenza, abbiamo le soluzioni $x=0$ e $x=-pi/2$ (+ periodicità)
IMHO
La seconda mi trovo ma per la prima il seno non si annulla con periodicità?
È riferito a tutte e due le soluzioni, sono in modalità risparmio energetico
$+2pi$
$+2pi$
"axpgn":
È riferito a tutte e due le soluzioni, sono in modalità risparmio energetico
$ +2pi $
Ehehhehe. Allora mi trovo su tutto
Credo che parlando di "angoli associati" il testo si riferisse a quello che alcuni chiamano "angolo aggiunto" o con nomi simili; spiego a Marco 1005 in cosa consiste, ma probabilmente lo sa già.
A mente, fai il rapporto fra i coefficienti di seno e coseno, in qualsiasi ordine e senza badare al segno; se non viene la tangente di un angolo speciale, il metodo è possibile ma poco conveniente ed è meglio cercarne un altro. Nel tuo casi però ottieni $1=tan frac pi 4$, quindi il metodo conviene. Ora moltiplica o dividi entrambi i membri dell'equazione per uno stesso numero, in modo da ottenere seno e coseno dell'angolo trovato; se non vedi per cosa moltiplicare o dividere, le regola è dividere per $sqrt(a^2+b^2)$, in cui $a,b$ sono i coefficienti di seno e coseno. Nel tuo caso moltiplichiamo per $sqrt2/2$ ed otteniamo
$sqrt2/2cos x-sqrt2/2 sin x=sqrt2/2$
Ora scrivi che un coefficiente è il seno e l'altro il coseno dell'angolo in questione; puoi acrivere
$sin frac pi 4 cosx- cos frac pi 4 sin x=sqrt2/2$
oppure $cos frac pi 4 cosx- sin frac pi 4 sin x=sqrt2/2$
Ora vedi come continuare?
A mente, fai il rapporto fra i coefficienti di seno e coseno, in qualsiasi ordine e senza badare al segno; se non viene la tangente di un angolo speciale, il metodo è possibile ma poco conveniente ed è meglio cercarne un altro. Nel tuo casi però ottieni $1=tan frac pi 4$, quindi il metodo conviene. Ora moltiplica o dividi entrambi i membri dell'equazione per uno stesso numero, in modo da ottenere seno e coseno dell'angolo trovato; se non vedi per cosa moltiplicare o dividere, le regola è dividere per $sqrt(a^2+b^2)$, in cui $a,b$ sono i coefficienti di seno e coseno. Nel tuo caso moltiplichiamo per $sqrt2/2$ ed otteniamo
$sqrt2/2cos x-sqrt2/2 sin x=sqrt2/2$
Ora scrivi che un coefficiente è il seno e l'altro il coseno dell'angolo in questione; puoi acrivere
$sin frac pi 4 cosx- cos frac pi 4 sin x=sqrt2/2$
oppure $cos frac pi 4 cosx- sin frac pi 4 sin x=sqrt2/2$
Ora vedi come continuare?
Ok quindi gli archi associati sono un’idea inutile?
relazione fondamentale $cos^2x+sin^2x=1$
Significa che $cos^2=1-sin^2x$
Se elevo entrambi i membri al quadrato ottengo
$cos^2x=sin^2x+1+2sinx$
Sostituisco a $cos^2x$ con $1-sin^2x$ e ottengo
$1-sin^2x= sin^2x+1+2sinx$
$2sin^2x+2sinx=0$
raccolgo $2sinx(sinx+1)=0$
da cui $2sinx=0$ e $sinx+1=0$
nel primo caso sinx è uguale a zero in $2pi$ e nel secondo è uguale a meno 1 in $3/4pi$ o $-pi/2$
ok chiaro.
rimango sempre un pò in dubbio con la periodicità se $2pi$ o $pi$
relazione fondamentale $cos^2x+sin^2x=1$
Significa che $cos^2=1-sin^2x$
Se elevo entrambi i membri al quadrato ottengo
$cos^2x=sin^2x+1+2sinx$
Sostituisco a $cos^2x$ con $1-sin^2x$ e ottengo
$1-sin^2x= sin^2x+1+2sinx$
$2sin^2x+2sinx=0$
raccolgo $2sinx(sinx+1)=0$
da cui $2sinx=0$ e $sinx+1=0$
nel primo caso sinx è uguale a zero in $2pi$ e nel secondo è uguale a meno 1 in $3/4pi$ o $-pi/2$
ok chiaro.
rimango sempre un pò in dubbio con la periodicità se $2pi$ o $pi$
No Giammaria questo metodo proprio non mi entra a pelle. Ho cercato di utilizzare gli angoli associati perchè il libro dava quello come help per risolvere l'esercizio ma effettivamente non serviva
"Marco1005":
Ok quindi gli archi associati sono un’idea inutile?
...
nel primo caso sinx è uguale a zero in $2pi$ e nel secondo è uguale a meno 1 in $3/4pi$ o $-pi/2$
...
Non dovrebbe essere $3/2pi$?
"DavidGnomo":
[quote="Marco1005"]Ok quindi gli archi associati sono un’idea inutile?
...
nel primo caso sinx è uguale a zero in $2pi$ e nel secondo è uguale a meno 1 in $3/4pi$ o $-pi/2$
...
Non dovrebbe essere $3/2pi$?[/quote]
si si 270° è $3/2pi$
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