Dubbio ricerca asintoto obliquo

[Marco1985Mn]

Rieccomi qua. Piccolo dubbio sulla ricerca dell'asintoto obliquo di questa funzione

$y=sqrt(9x^2+4x-1)$

Essendo il dominio pari a $R$ non ho asintoti verticali
svolgendo il $lim_(xrarr+-oo)sqrt(9x^2+4x-1)$ il risultato è $+oo$

quindi non c'è asintoto orizzontale - a questo punto per trovare l'asintoto obliquo devo razionalizzare?

Grazie mille

[Mephlip]

"Marco1005":
ma non dovrei risolvere anche le casistiche con $+-x$ visto che la radice quadrata di $x^2$ è $+-x$

Non ti fa bene, didatticamente parlando, pensarla così. Hai che $\sqrt{x^2}=|x|$, e il valore assoluto è $x$ se $x \ge 0$ o $-x$ se $x<0$. Quindi, dato che in questo caso $x \to +\infty$, è certamente $x>0$ e quindi $|x|=x$. Dunque, $\sqrt{x^2}=|x|=x$ per $x \to +\infty$. Viceversa, per $x \to -\infty$ è $x<0$ e perciò $\sqrt{x^2}=|x|=-x$. Con i numeri si prende sempre la radice positiva: ossia, $\sqrt{3^2}=3$, $\sqrt{(-2)^2}=2$.

[Marco1985Mn]

"axpgn":In pratica tu hai $|x|/x$ che in un caso ti dà $1$ e nell'altro $-1$ che moltiplicato per $3$ (perché la radice tende a $+3$ senza se e senza ma ), ti porta a qui due valori di coefficiente angolare.
Ok?

perchè però quando risolvo le equazioni di 2° grado allora nella formula utilizzo $(-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)$
se con i numeri si tiene sempre la quantità positiva perchè in questo caso devo differenziare i casi?
il delta è un numero come un altro

[@melia]

"Marco1005":perchè però quando risolvo le equazioni di 2° grado allora nella formula utilizzo $(-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)$
se con i numeri si tiene sempre la quantità positiva

Devi mettere fuori il $+-$ perché dalla radice esce sempre solo una quantità positiva.

[Marco1985Mn]

Ho provato a fare i calcoli come mi aveta spiegato ma sto sbagliando qualcosa.
$m=lim_(x->+-oo)(x*(sqrt(9+4/x-1/x^2)))/x$ ipotesi con $x>0$ quindi $m=3$

$m=lim_(x->+-oo)(-x*(sqrt(9+4/x-1/x^2)))/x$ ipotesi con $x<0$ quindi $m=-3$

cerco q.

$q=lim_(x->+-oo)(sqrt(9x^2+4x-1)-3x)$ ipotesi con $x>0$

$q=lim_(x->+-oo)(sqrt(9x^2+4x-1)+3x)$ ipotesi con $x<0$

procedo solo con l'ipotesi $x>0$ razionalizzo

$q=lim_(x->+-oo)(sqrt(9x^2+4x-1)-3x)*(sqrt(9x^2+4x-1)+3x)/((sqrt(9x^2+4x-1)+3x)$

$q=lim_(x->+-oo)(9x^2+4x-1-9x^2)/(sqrt(9x^2+4x-1)+3x)$

$q=lim_(x->+-oo)(+4x-1)/(sqrt(9x^2+4x-1)+3x)$

raccolgo la x a denominatore e porto fuori

$q=lim_(x->+-oo)(+4x-1)/(x*sqrt(9+4/x-1/x^2)+3x)$

raccolgo nuovamente la x a denominatore

$q=lim_(x->+-oo)(+4x-1)/(x*(sqrt(9+4/x-1/x^2)+3))$

raccolgo x a numeratore

$q=lim_(x->+-oo)(x*(4-1/x))/(x*(sqrt(9+4/x-1/x^2)+3))$

semplifico la x e mi rimane

$q=lim_(x->+-oo)(4-1/x)/((sqrt(9+4/x-1/x^2)+3))$

$q=lim_(x->+-oo)(4)/((3+3))$

$q=lim_(x->+-oo)(2)/(3)$ e questo viene come quello di @melia

ma se faccio i calcoli con $m=-3$ sotto a denominatore mi rimane $sqrt(9+4/x-1/x^2)-3$ che fa zero
e non $-2/3$
dove sto sbagliando?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Marco, a me sembra che non ti sia molto chiaro il fatto che

Se $x$ tende a $+oo$ allora $x > 0$. Di conseguenza $sqrt(x^2)=x$ in questo caso.

Se $x$ tende a $-oo$ allora $x < 0$. Di conseguenza $sqrt(x^2)=-x$ in questo caso.

Quindi non puoi fare i due casi $x-> +oo$ e $x-> -oo$ insieme (cioè non puoi fare $x -> pm oo$), li devi fare separatamente.

Pensaci.

[@melia]

Quando $x<0$ portando $x^2$ fuori radice devi ottenere comunque un numero positivo,
quindi quando $x<0$ ottieni $sqrt(x^2)= -x$, perché se $x<0$ allora $-x>0$

[giammaria2]

@ Marco 1005
Ti hanno già spiegato dove stai sbagliando e come correggere; aggiungo un suggerimento che evita di dover fare molta attenzione. Quando hai $x->-oo$, fai la sostituzione $x=-u$: in questo modo avrai $u->+oo$ e potrai ragionare con numeri positivi, che sono molto più intuitivi.

[Marco1985Mn]

"Martino":Marco, a me sembra che non ti sia molto chiaro il fatto che
Se $x$ tende a $+oo$ allora $x > 0$. Di conseguenza $sqrt(x^2)=x$ in questo caso.

Se $x$ tende a $-oo$ allora $x < 0$. Di conseguenza $sqrt(x^2)=-x$ in questo caso.

no infatti non riuscivo a collegare.
riscrivo i due casi separatamente

$q=lim_(x->+oo)(sqrt(9x^2+4x-1)-3x)$ ipotesi con $x>0$

$q=lim_(x->-oo)(sqrt(9x^2+4x-1)+3x)$ ipotesi con $x<0$

stavolta procedo con il secondo caso in cui $m=-3$

razionalizzo
$q=lim_(x->-oo)(sqrt(9x^2+4x-1)+3x)*(sqrt(9x^2+4x-1)-3x)/(sqrt(9x^2+4x-1)-3x)$

$q=lim_(x->-oo)(9x^2+4x-1-9x^2)/(sqrt(9x^2+4x-1)-3x)$

$q=lim_(x->-oo)(4x-1)/(sqrt(9x^2+4x-1)-3x)$

raccolgo x numeratore e al denominatore

$q=lim_(x->-oo)(x*(4-1/x^2))/(sqrt(x^2(9+4/x-1/x^2))-3x)$

$q=lim_(x->-oo)(x*(4-1/x^2))/(-x*sqrt((9+4/x-1/x^2))-3x)$

$q=lim_(x->-oo)(x*(4-1/x^2))/(-x*(sqrt((9+4/x-1/x^2))-3)$

$q=lim_(x->-oo)(x*(4-1/x^2))/(-x*(sqrt(9)-3)$

sotto però tra perentesi viene zero.

ho diviso le due ipotesi, con piu infinito ho utilizzato $x>0$, con meno infinito ho utilizzato $x<0$ ma non torna.

[axpgn]

Ma no, se raccogli $-x$ viene $3+3$

[Marco1985Mn]

"axpgn":Ma no, se raccogli $-x$ viene $3+3$

hai ragione porcaccia
quindi sotto viene $-6$ e quadra tutto