Dubbio passaggio dimostrazione proprietà coeff. binomiali

[Emanuele27e]

Ciao, io sto studiando la formula di ricorrenza dei coefficienti binomiale ma non riesco a spiegarmi un passaggio della dimostrazione che passa per la definizione di coefficiente binomiale:

$((n),(k))=\frac{n(n−1)(n−2)...(n−k+1)}{k!}$

tramite questa definizione la dimostrazione di $((n),(k))=((n-1),(k))+((n-1),(k-1))$ inizia con:

$((n-1),(k))+((n-1),(k-1))=\frac{(n−1)(n−2)...(n−k+1)}{(k−1)}!+\frac{(n−1)(n−2)...(n−k)}{k!}=\frac{(n−1)(n−2)...(n−k+1)k+(n−1)(n−2)...(n−k)}{k!}$

Fin qui tutto ok, poi succede qualcosa che probabilmente è una semplice proprietà del prodotto ma che non riesco a comprendere, il secondo membro della somma al numeratore viene semplificato aggiungengo k all'ultimo termine:

$\frac{(n−1)(n−2)...(n−k+1)k+(n−1)(n−2)...(n−k)}{k!} =\frac{(n−1)(n−2)...(n−k+1)(k+n−k)}{k!}$

dall'ultimo passaggio poi è chiaro che diventa uguale a $((n),(k))$ ma quella semplificazione non me la spiego.
Qualcuno può applicare lo stesso principio in un esempio più facile da capire?

Grazie mille

[Noodles1]

"espreca":
Qualcuno può applicare lo stesso principio in un esempio più facile da capire?

Non credo sia necessario. Ha raccolto il prodotto:

$(n−1)*(n−2)*...*(n−k+1)$

in comune tra i due addendi:

$(n−1)*(n−2)*...*(n−k+1)*k$

$(n−1)*(n−2)*...*(n−k)=(n−1)*(n−2)*...*(n−k+1)*(n-k)$

[Emanuele27e]

cioè, se ho capito bene:

1) il termine $(n-k+1)$ è già incuso nel secondo addendo tra i puntini
2) l'unica differenza tra i due addendi è il $k$ al primo addendo e il termine $(n-k)$ al secondo, tolti questi gli addendi sono uguali

giusto?

Grazie mille per l'aiuto

[Noodles1]

Giusto.