Dubbio nella risoluzione di forme indeterminate

[lol_edo]

Ciao a tutti,
stavo cercando di risolvere due esercizi per casa che consiste nel risolvere due limiti.

[math]\lim_{x \to +\infty}\frac{-3x}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}[/math]

[math]\lim_{x \to 0}\frac{8sen^2 x}{1-cosx}[/math]

Dopo aver capito che si trattava di una forma indeterminata infinito fratto infinito, ho provato a risolvere il primo limite un questo modo:

[math]\lim_{x \to +\infty}\frac{-3x}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}[/math]

[math]\lim_{x \to +\infty}\frac{-3x(\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2})}{(\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2})(\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2})}[/math]

[math]\lim_{x \to +\infty}\frac{-3x(\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2})}{2x+1-x-2}[/math]

[math]\lim_{x \to +\infty}\frac{-3x(\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2})}{x+1}[/math]

Fino ad arrivare a:

[math]\frac{+\infty-\infty}{+\infty}[/math]

Il problema è che il risultato che viene sul libro è:

[math]-\infty[/math]

Quindi non so se ho sbagliato a svolgere l'esercizio, e se ho sbagliato non so nemmeno il perché.

Per quanto riguarda il secondo esercizio non so nemmeno da dove iniziare per svolgerlo, ho solo trovato che si tratta di una forma indeterminata zero fratto zero.
Tra l'altro il libro non dice nulla riguardo al risultato.

Ringrazio chiunque sia disposto ad aiutarmi.

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Molto semplicemente, si ha

[math]
\begin{aligned}
\lim_{x \to +\infty} \frac{-3x}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}
& = \lim_{x \to +\infty} \frac{-3x}{\left(\sqrt{\frac{2\,x + 1}{x + 2}}+1\right)\sqrt{x+2}} \\
& = \lim_{x \to +\infty} \frac{-3x}{\left(\sqrt{2}+1\right)\sqrt{x}} \\
& = \lim_{x \to +\infty} -\frac{3}{\sqrt{2}+1}\,\sqrt{x} \\
& = -\infty \; ;
\end{aligned}\\
[/math]

[math]
\begin{aligned}
\lim_{x \to 0} \frac{8\,\sin^2 x}{1-\cos x}
& = \lim_{x \to 0} 8\,\sin^2 x\,\frac{1}{1-\cos x} \\
& = \lim_{x \to 0} 8\,\frac{\sin^2 x}{x^2}\,\frac{x^2}{1-\cos x} \\
& = \lim_{x \to 0} 8\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\left(\frac{1-\cos x}{x^2}\right)^{-1} \\
& = 8 \cdot (1)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} \\
& = 16 \; .
\end{aligned} \\
[/math]

Spero sia sufficientemente chiaro. ;)

[GiovanniPalama]

Ciao, per il secondo esercizio si può anche non necessariamente ricorrere ai limiti notevoli, ma si potrebbe anche semplicemente ricordare che:

[math]sin^2x=1-cos^2x=(1+cosx)(1-cosx)[/math]

Andando a sostituire nel limite si ottiene:

[math]lim_x->0 (8sin^2x)/(1−cosx)=lim_x→0 8(1+cosx)(1-cosx)/(1-cosx)[/math]

[math]lim_x->0 8(1+cosx)=16[/math]

[lol_edo]

Vi ringrazio tutti e due per avermi aiutato con gli esercizi.
Se possibile potreste spiegarmi i passaggi che avete effettuato per la risoluzione del primo limite dato che non sono riuscito bene a comprenderli.
Per la seconda non c'è nessun problema, grazie :)

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Teorema - Se

[math]\begin{aligned} \lim_{x \to c} f(x) = l_1 \end{aligned}[/math]

e

[math]\begin{aligned} \lim_{x \to c} g(x) = l_2\end{aligned}[/math]

, allora:

[math]\begin{aligned} \lim_{x \to c} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x) = l_1 \cdot l_2\end{aligned}[/math]

, a
patto che l'espressione a secondo membro non sia indeterminata;
analogamente vale anche per le altre tre operazioni elementari.


Alla luce di ciò, volendo esplicitare tutti i passaggi nel dettaglio, si ha:

[math]\small
\begin{aligned}
\lim_{x \to +\infty} \frac{-3\,x}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}
& = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{2\,x+1}}{\sqrt{x+2}}+1} \cdot \frac{-3\,x}{\sqrt{x+2}} \\
& = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{2\,x+1}{x+2}}+1} \cdot \lim_{x \to +\infty} \frac{-3\,x}{\sqrt{x+2}} \\
& = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \cdot \lim_{x \to +\infty} \frac{-3\,x}{\sqrt{x}} \cdot \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}}} \\
& = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \cdot (-\infty) \cdot 1 \\
& = -\infty \; .
\end{aligned}\\
[/math]

Spero sia sufficientemente chiaro. ;)