Dubbio massimi e minimi agli estremi di [a,b]
Data una funzione $f(x)$ definita e continua in un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$ e derivabile in ogni punto interno di tale intervallo, è vero quanto segue?
Se $f'(x)>0$ (risp. $f'(x)<0$) in un intorno destro di $a$, allora $a$ è un punto di min. relativo (risp. max. relativo).
Se $f'(x)>0$ (risp. $f'(x)<0$) in un intorno sinistro di $b$, allora $b$ è un punto di max. relativo (risp. min. relativo).
Se $f'(x)>0$ (risp. $f'(x)<0$) in un intorno destro di $a$, allora $a$ è un punto di min. relativo (risp. max. relativo).
Se $f'(x)>0$ (risp. $f'(x)<0$) in un intorno sinistro di $b$, allora $b$ è un punto di max. relativo (risp. min. relativo).
Risposte
Ciao michele_7483!
Dunque, pensiamoci un po': noi sappiamo che dove $f'>0$ la funzione cresce.
Nel nostro caso, la funzione parte dal punto $(a,f(a))$ e in un intorno destro di $a$, sappiamo che $f'(x) > 0$.
Ricordiamo poi la definizione di minimo relativo:
Data $f: D \to RR$, un punto $x_0 \in D$ è un minimo relativo per $f$ se esiste un intorno $I = (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ di tale punto tale per cui per ogni $x \in I \cap D$ si ha che $f(x) >= f(x_0)$.
Noi ci chiediamo quindi se $x_0 = a$ sia un minimo relativo per $f(x)$ nell'intervallo $[a,b]$.
Chi sono gli intorni $I = (a - \delta, a + \delta) \cap [a,b]$? Sono della forma $I = [a, a + \delta)$, ovvero sono intorni destri di $a$.
Dalle ipotesi, esiste un intorno destro $[a, a+\delta_1)$ in cui $f'(x) > 0$, il che vuol dire che preso un qualsiasi punto $x$ in questo intorno destro, essendo $f$ derivabile, si ha che $f(x) > f(a)$, ovvero effettivamente $a$ è un minimo relativo di $f$ in $[a,b]$.
Prova tu a rispondere alle altre domande ora
Dunque, pensiamoci un po': noi sappiamo che dove $f'>0$ la funzione cresce.
Nel nostro caso, la funzione parte dal punto $(a,f(a))$ e in un intorno destro di $a$, sappiamo che $f'(x) > 0$.
Ricordiamo poi la definizione di minimo relativo:
Data $f: D \to RR$, un punto $x_0 \in D$ è un minimo relativo per $f$ se esiste un intorno $I = (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ di tale punto tale per cui per ogni $x \in I \cap D$ si ha che $f(x) >= f(x_0)$.
Noi ci chiediamo quindi se $x_0 = a$ sia un minimo relativo per $f(x)$ nell'intervallo $[a,b]$.
Chi sono gli intorni $I = (a - \delta, a + \delta) \cap [a,b]$? Sono della forma $I = [a, a + \delta)$, ovvero sono intorni destri di $a$.
Dalle ipotesi, esiste un intorno destro $[a, a+\delta_1)$ in cui $f'(x) > 0$, il che vuol dire che preso un qualsiasi punto $x$ in questo intorno destro, essendo $f$ derivabile, si ha che $f(x) > f(a)$, ovvero effettivamente $a$ è un minimo relativo di $f$ in $[a,b]$.
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Grazie Lebesgue, è vero anche che se $f'(x) = 0$ in tutti i punti dell'intorno destro di $a$, allora $a$ è un punto sia di min. sia di max. relativo in quanto la funzione è costante in tale intorno e assume sempre il valore $f(a)$?
E un'ultima domanda: nella stessa ipotesi che $f(x)$ sia definita e continua in $[a,b]$ e derivabile in tutti i punti interni ad $[a,b]$, può essere che $a$ o $b$ non siano punti di estremo relativo?
E un'ultima domanda: nella stessa ipotesi che $f(x)$ sia definita e continua in $[a,b]$ e derivabile in tutti i punti interni ad $[a,b]$, può essere che $a$ o $b$ non siano punti di estremo relativo?
"michele_7483":
Grazie Lebesgue, è vero anche che se $f'(x) = 0$ in tutti i punti dell'intorno destro di $a$, allora $a$ è un punto sia di min. sia di max. relativo in quanto la funzione è costante in tale intorno e assume sempre il valore $f(a)$?
Sì, esatto.
E un'ultima domanda: nella stessa ipotesi che $f(x)$ sia definita e continua in $[a,b]$ e derivabile in tutti i punti interni ad $[a,b]$, può essere che $a$ o $b$ non siano punti di estremo relativo?
tu cosa ne pensi? prova un po' a ragionarci
"Lebesgue":
tu cosa ne pensi? prova un po' a ragionarci
Secondo me sì ad es. questa funzione nell'intervallo $[0,1]$
$$
f(x)=\begin{cases}x\sin\dfrac{1}{x} & \text{se } x\neq 0\\0 & \text{se } x=0 \end{cases}
$$
secondo me non ha in 0 né un max. né un min. perché in qualunque intorno destro di 0 la funzione assume sia valori positivi sia negativi, pur essendo definita e continua in $[0,1]$ e derivabile nei punti interni dell'intervallo, o sbaglio?
Sì direi che questo è un buon controesempio.
Infatti la funzione $x \sin (1/x)$ è continua ma non derivabile in $x = 0$ e compie oscillazioni sempre più ravvicinate, man mano che ci si avvicina all'origine.
Infatti la funzione $x \sin (1/x)$ è continua ma non derivabile in $x = 0$ e compie oscillazioni sempre più ravvicinate, man mano che ci si avvicina all'origine.
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