Dubbio logaritmi e domini

[TheMassakretor]

ciao a tutti stavo svolgendo il seguente esercizio

y= ln (3-x)/ (1-x^2) (l'argomento del logaritmo è /3-x)/(1-x^2)) e mi chiede di trovare le condizioni di esitenza

allora prima di tutto ho posto il denominatore diverso da 0 per l'esistenza della frazione ----->1- x^2 diverso da 1 quindi x diverso da 1

ho imposto che l'argomento del logaritmo fosse > di 0 quindi ottengo una fratta che risolvo in un sistema

Numeratore maggiore di 0 quindi 3-x>0 ------- x<3
denominatore maggiore di 0 quindi 1-x^2 >0 x^2<1 per valori interni ottengo -1
ora con lo studio dei segni ottengo -13 (A)
considerando l'esistenza del denominatore dovrei togliere da tutto l'intervallo x=1
ma il libro considera giusta la soluzione (A)

dove sbaglio? a cosa serve quell'xdiverso da 1 quindi?

[garnak.olegovitc1]

Salve TheMassakretor,

"TheMassakretor":ciao a tutti stavo svolgendo il seguente esercizio

y= ln (3-x)/ (1-x^2) (l'argomento del logaritmo è /3-x)/(1-x^2)) e mi chiede di trovare le condizioni di esitenza

allora prima di tutto ho posto il denominatore diverso da 0 per l'esistenza della frazione ----->1- x^2 diverso da 1 quindi x diverso da 1

ho imposto che l'argomento del logaritmo fosse > di 0 quindi ottengo una fratta che risolvo in un sistema

Numeratore maggiore di 0 quindi 3-x>0 ------- x<3
denominatore maggiore di 0 quindi 1-x^2 >0 x^2<1 per valori interni ottengo -1
ora con lo studio dei segni ottengo -13 (A)
considerando l'esistenza del denominatore dovrei togliere da tutto l'intervallo x=1
ma il libro considera giusta la soluzione (A)

dove sbaglio? a cosa serve quell'xdiverso da 1 quindi?

abbiamo il seguente logaritmo $y= ln ((3-x)/ (1-x^2))$
il campo di esistenza è l'argomento del logaritmo maggiore di zero , ovvero $(3-x)/ (1-x^2)>0$, ora puoi procedere allo studio di ciò...
Cordiali saluti

[TheMassakretor]

ah forse ho capito non serve l'esistenza sul denominatore perché gia pongo l'argomento strettamente maggiore sia sul numeratore sia sul denominatore. dico bene?

[Giant_Rick]

Occhio che $1-x^2\ne 0 \Rightarrow x^2\ne 1 \Rightarrow x\ne -1 ^^ x\ne 1$.

Per il resto devi impostare il sistema \(\displaystyle \begin{cases}
3-x > 0 \\
1-x^2>0
\end{cases} \)

Le soluzioni sono: \(\displaystyle \begin{cases}
x<3\\
-1 \end{cases} \)

Ossia $ -13$ da come puoi dedurre dal seguene schema dei segni:



L'argomento non può vale zero altrimenti il logaritmo non esiste, per cui poni il tutto strettamente maggiore di zero tenendo conto delle condizioni di esistenza della frazione

[garnak.olegovitc1]

Salve TheMassakretor,

"TheMassakretor":ah forse ho capito non serve l'esistenza sul denominatore perché gia pongo l'argomento strettamente maggiore sia sul numeratore sia sul denominatore. dico bene?

rigorosamente no, devi procedere passo dopo passo senza avere fretta:

il campo di esistenza della funzione è dato, come abbiamo detto, dalla"soluzione" di questa disequazione $(3-x)/ (1-x^2)>0$, ovviamente come si risolve questa disequazione? Lo sai fare?
Cordiali saluti

[garnak.olegovitc1]

Salve TheMassakretor,
Giant_Rick ha già provveduto.
Cordiali saluti