Dubbio integrale definito con sostituzione

[Marco1985Mn]

Salve ho un dubbio sulla risoluzione di questo integrale definito con il metodo della sostituzione.
$int_(-1)^(0)x^2*sqrt(1+x)dx$
Pongo $t=sqrt(1+x)$
$x=t^2-1$
Nella soluzione viene impostato $2tdt = dx$ ma questa uguaglianza da dove deriva? Che ragionamento devo fare per impostare dt? Grazie mille come sempre

[megas_archon]

ma questa uguaglianza da dove deriva?

Hai differenziato da entrambi i lati.

[Marco1985Mn]

"megas_archon":

ma questa uguaglianza da dove deriva?

Hai differenziato da entrambi i lati.

perdonami ma ne so come prima:)

[megas_archon]

Se \(x = t^2-1\), \(dx = 2tdt\), perché il differenziale di $x$ è $dx$, e il differenziale di \(t^2-1\) è \(2tdt\). Oppure, siccome \(x = t^2-1\), allora \(\frac{dx}{dt} =2t\), e quindi \(dx = 2tdt\), "moltiplicando per $dt$".

[Marco1985Mn]

"megas_archon":Se \(x = t^2-1\), \(dx = 2tdt\), perché il differenziale di $x$ è $dx$, e il differenziale di \(t^2-1\) è \(2tdt\). Oppure, siccome \(x = t^2-1\), allora \(\frac{dx}{dt} =2t\), e quindi \(dx = 2tdt\), "moltiplicando per $dt$".

differenziale = derivata??

[megas_archon]

No, non esattamente, ma non importa. Se sai fare le derivate, il "differenziale" di \(f(t)\) è \(df = f'(t)dt\).

[Marco1985Mn]

"megas_archon":No, non esattamente, ma non importa. Se sai fare le derivate, il "differenziale" di \(f(t)\) è \(df = f'(t)dt\).

grazie mille.
Sono andato a rivedere la definizione ed effettivamente la derivata è i rapporto differenziale

[@melia]

Scusatemi, ma gli estremi di integrazione non appartengono al dominio della funzione integranda.

[Marco1985Mn]

"@melia":Scusatemi, ma gli estremi di integrazione non appartengono al dominio della funzione integranda.

mi sono perso un attimo con questa affermazione, puoi spiegarti meglio?

[axpgn]

Secondo te la funzione $sqrt(x-1)$ esiste nei punti $x=0$ e $x=-1$?

[Marco1985Mn]

"axpgn":Secondo te la funzione $sqrt(x-1)$ esiste nei punti $x=0$ e $x=-1$?

sono un pirla io, non fucilatemi ho ricopiato sbagliato nella fretta ora ho corretto. Sotto radice era $sqrt(1+x)$