Dubbio esercizio sui limiti
Ciao ragazzi, ho bisogno di un aiuto.. lunedì ho la verifica e ho un dubbio che mi assale.
Ho un esercizio che non mi risulta però ho provato parecchi modi che mi vengono in mente e che poi trascrivo qui sotto.
Il testo dice: "Data una funzione $ f(x)= [(2a-3)x^2 + (b-2)x +c]/[x+3] $, determina $ a, b, c $ in modo che $ lim_(x->oo) f(x)=1 $ e $ f(0)=3 $"
Io ho ragionato così:
$ { (f(0)=3 ),(lim_(x->oo)f(x)=1):} $
e dalla prima ricavo $ c = 9 $
poi per la seconda ho raccolto x a grado massimo, cioè:
$ lim_(x->oo)[(2a-3)x^2+(b-2)x+c]/[x+3]=1 $
$ lim_(x->oo)[x^2(2a-3+[b-2]/x+[c]/x^2)]/[x(1+3/x)]=1 $
poi, essendo $ x-> oo $ mi rimane $ lim_(x->oo)(2a-3)x=1 $
E qui mi fermo, il mio dubbio è su come continuare. Come è possibile che una quantità che tende a $ oo $ moltiplicata per una quantità $ 2a-3 $ possa risultare 1? Ho pensato di porre anche $ 2a-3 = 0 $ però non credo sia giusto. Forse ho sbagliato qualcosa prima senza accorgermene. Spero che abbiate la pazienza e la voglia di aiutarmi.
Grazie mille e buona serata.
Ho un esercizio che non mi risulta però ho provato parecchi modi che mi vengono in mente e che poi trascrivo qui sotto.
Il testo dice: "Data una funzione $ f(x)= [(2a-3)x^2 + (b-2)x +c]/[x+3] $, determina $ a, b, c $ in modo che $ lim_(x->oo) f(x)=1 $ e $ f(0)=3 $"
Io ho ragionato così:
$ { (f(0)=3 ),(lim_(x->oo)f(x)=1):} $
e dalla prima ricavo $ c = 9 $
poi per la seconda ho raccolto x a grado massimo, cioè:
$ lim_(x->oo)[(2a-3)x^2+(b-2)x+c]/[x+3]=1 $
$ lim_(x->oo)[x^2(2a-3+[b-2]/x+[c]/x^2)]/[x(1+3/x)]=1 $
poi, essendo $ x-> oo $ mi rimane $ lim_(x->oo)(2a-3)x=1 $
E qui mi fermo, il mio dubbio è su come continuare. Come è possibile che una quantità che tende a $ oo $ moltiplicata per una quantità $ 2a-3 $ possa risultare 1? Ho pensato di porre anche $ 2a-3 = 0 $ però non credo sia giusto. Forse ho sbagliato qualcosa prima senza accorgermene. Spero che abbiate la pazienza e la voglia di aiutarmi.
Grazie mille e buona serata.
Risposte
$a=3/2$, $b=3$ e $c=9$ mi pare funzioni ... 
Sì quelle sono le soluzioni, ma come hai fatto? Non capisco proprio come risolverla..
Beh, se il limite all'infinito deve essere pari a $1$ questo significa che, all'infinito, num e den devono essere equivalenti ma una parabola e una retta non saranno mai equivalenti all'infinito perciò faccio sparire $x^2$ cioè $2a-3=0$ ... poi sempre per essere equivalenti all'infinito i coefficienti delle $x$ sopra e sotto devono essere uguali perciò $b-2=1$ e per $c$ ho fatto come te ... 
Adesso ho capito. Grazie 
Quindi calcolare il limite come ho fatto io è sbagliato?
Quindi calcolare il limite come ho fatto io è sbagliato?
No, non è sbagliato, ma non hai tenuto conto del fatto che, affinché il limite sia finito, numeratore e denominatore devono avere lo stesso grado.
Quindi da $lim_(x->oo)[(2a-3)x^2+(b-2)x+c]/[x+3]=1$ deduci che il coefficiente del termine di secondo grado deve essere 0
$2a-3=0 -> a=3/2$, adesso sostituisci e poi continua con il calcolo del limite.
Quindi da $lim_(x->oo)[(2a-3)x^2+(b-2)x+c]/[x+3]=1$ deduci che il coefficiente del termine di secondo grado deve essere 0
$2a-3=0 -> a=3/2$, adesso sostituisci e poi continua con il calcolo del limite.
Va bene grazie mille! Ora ho le idee più chiare 
Grazie mille
Ora ho le idee più chiare Grazie mille
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