Dubbio equazioni esponenziali
Mi trovo molto in difficoltà nel risolvere esercizi di questo genere.
Applico tutte le proprietà delle potenza, fino a quando non rimango così e non so che fare =( uff.. :
$ 2^x^-1*2^2^x*3^x=3^x + 7 $
Non capisco cosa fare, perchè se tipo applico la sostituzione per variabile al $ 3^x= t $ rimango pur sempre con l'incognita all'esponente del 2.
Spero possiate aiutarmi, grazie
Applico tutte le proprietà delle potenza, fino a quando non rimango così e non so che fare =( uff.. :
$ 2^x^-1*2^2^x*3^x=3^x + 7 $
Non capisco cosa fare, perchè se tipo applico la sostituzione per variabile al $ 3^x= t $ rimango pur sempre con l'incognita all'esponente del 2.
Spero possiate aiutarmi, grazie
Risposte
Non sempre le equazioni esponenziali possono essere risolte con le sole proprietà delle potenze; spesso occorrono metodi di soluzione approssimati (ad esempio il metodo grafico) e questo è il caso dell'equazione che riporti. Noto però un "fino a quando non rimango così", che mi fa pensare che prima ci siano stati altri calcoli; poiché i testi liceali raramente riportano esercizi di simile complessità, mi sembra probabile che ci sia stato qualche errore precedente. Forse è meglio se scrivi tutti i tuoi passaggi.
Non ricordandomi bene tutto i calcoli, perchè ho passato il pomeriggio e ne avrò fatti a migliaia, te ne riporto uno simile, in cui il problema è lo stesso:
$ (2^(x+2))^2*3^x<2/3^(x+3)$
Il mio problema è quello che dopo aver fatto i vari calcoli, io mi trovo con due basi diversi tutte e due con x all'esponente.
Cerco di spiegarmi meglio, se io mettessi $ 3^x= t$ mi rimarrebbe pur sempre un $ 2^(2x+4) $, e non so proprio che fare.
Mi troverei ad esempio con $ 2^2x*2^4*t<2/t+3$ e però ho pur sempre una $x$ all'esponente....
Non avrò capito qualcosa, sbaglierò qualcosa, boh..
[mod="WiZaRd"]
Corretti gli errori di sintassi del MathML.
[/mod]
$ (2^(x+2))^2*3^x<2/3^(x+3)$
Il mio problema è quello che dopo aver fatto i vari calcoli, io mi trovo con due basi diversi tutte e due con x all'esponente.
Cerco di spiegarmi meglio, se io mettessi $ 3^x= t$ mi rimarrebbe pur sempre un $ 2^(2x+4) $, e non so proprio che fare.
Mi troverei ad esempio con $ 2^2x*2^4*t<2/t+3$ e però ho pur sempre una $x$ all'esponente....
Non avrò capito qualcosa, sbaglierò qualcosa, boh..
[mod="WiZaRd"]
Corretti gli errori di sintassi del MathML.
[/mod]
Un esempio semplice riportato dal libro è:
$ 3^x-2*3^2^-x<7 $
La mia situazione è come se in questa semplice esponenziali in cui impartirei $3^x= t$ avessi anche un $7^x$ dopo il segno, invece che uno senza esponente.
$ 3^x-2*3^2^-x<7 $
La mia situazione è come se in questa semplice esponenziali in cui impartirei $3^x= t$ avessi anche un $7^x$ dopo il segno, invece che uno senza esponente.
I due esempi che riporti sono molto diversi dal primo esercizio di questo topic.
Cominciamo col primo esempio e correggiamo l'errore fatto a secondo membro: $2/(3^(x+3))=2/(3^x*3^3)=2/(27t)$ (con la sostituzione da te indicata, che però non serve a niente). La vera soluzione si ha applicando le proprietà delle potenze e dando denominatore comune; ottieni
$2^(2x+4)*3^(2x+3)<2$
e, dividendo per 2, $2^(2x+3)*3^(2x+3)<1->6^(2x+3)<1->2x+3<0$
Qui c'è stata la semplificazione che, essendo gli esponenti uguali, potevi moltiplicare le basi; vediamo un esempio in cui non si poteva.
$2^x*3^(2x-1)<5$.
Separiamo la parte con l'incognita dal resto: $2^x*3^(2x)/3<5->2^x*3^(2x)<15->(2*3^2)^x<15->18^x<15$ .
Passando ai logaritmi $xln18
Il secondo esempio si risolve con
$3^x-2*(3^2)/(3^x)<7->t-2*9/t<7$: questa volta la tua sostituzione è risolutiva.
Cominciamo col primo esempio e correggiamo l'errore fatto a secondo membro: $2/(3^(x+3))=2/(3^x*3^3)=2/(27t)$ (con la sostituzione da te indicata, che però non serve a niente). La vera soluzione si ha applicando le proprietà delle potenze e dando denominatore comune; ottieni
$2^(2x+4)*3^(2x+3)<2$
e, dividendo per 2, $2^(2x+3)*3^(2x+3)<1->6^(2x+3)<1->2x+3<0$
Qui c'è stata la semplificazione che, essendo gli esponenti uguali, potevi moltiplicare le basi; vediamo un esempio in cui non si poteva.
$2^x*3^(2x-1)<5$.
Separiamo la parte con l'incognita dal resto: $2^x*3^(2x)/3<5->2^x*3^(2x)<15->(2*3^2)^x<15->18^x<15$ .
Passando ai logaritmi $xln18
Il secondo esempio si risolve con
$3^x-2*(3^2)/(3^x)<7->t-2*9/t<7$: questa volta la tua sostituzione è risolutiva.
Grazie mille
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