Dubbio equazione differenziale

[tures]

salve a tutti ho trovato questa equazione differenziale e non so come svolgerla,vi chiedo un aiuto
l'equazione è : $ y'- y tgx=x $

[Alfaiota]

Cosa intendi per svolgerla?

[anto_zoolander]

È un'equazione differenziale del tipo:

$y'+a(x)y=b(x)$ in cui basta moltiplicare per $e^(inta(x)dx)$ per uscirsene

Tipo in questo caso sarebbe $e^(int(-tanx)dx)=e^(ln|cosx|)$

Naturalmente previa esclusione di $x=pi/2+kpi$

$y'*e^(ln|cosx|)+(-tanx)y*e^(ln|cosx|)=xe^(ln|cosx|)$

$d/dx[y*e^(ln|cosx|)]=xe^(ln|cosx|)$

Quì ti trovi?
Se hai bisogno, sto mettendo sotto spoiler la soluzione.

basta adesso integrare ambo i membri

$y*e^(ln|cosx|)=intxe^(ln|cosx|)dx$

Mi concentro sull'integrale..
Obv $e^(ln|cosx|)=|cosx|,forallxnepi/2+kpi$

Dunque ci si riduce a risolvere:

$intx|cosx|dx$ che si risolve in maniera abbastanza artistica.
Moltiplico e divido per $|cosx|$

$intxcosx*cosx/|cosx|dx$

Naturalmente a numeratore otterrei
$|cos^2x|=cos^2x, forallxnepi/2+kpi$
Adesso riscrivo l'integrale così:

$intxcosx*sign(cosx)dx$ e ragioniamo:

La derivata della funzione segno fa $0$ ovunque meno che nel punto in cui si annulla l'argomento, in cui non risulta derivabile per bruttezze della funzione. ma notiamo che l'argomento non si annulla mai, poiché abbiamo escluso dal dominio proprio tutti i vari punti in cui si annulla già all'inizio. Dunque possiamo, integrando per parti, derivare la funzione segno.
Quindi:

Integro $cosx$ e derivo $xsign(cosx)$

$sinx(xsign(cosx))-intsinx(sign(cosx)dx$

Adesso faccio la stessa cosa di prima, però integrando $sinx$ e derivando $sign(cosx)$, funzione che risulta particolarmente abusata.

$sinx(xsign(cosx))-(-cosx(sign(cosx))+c$

$sign(cosx)(xsinx+cosx)+c$

Ora tornando all'equazione, liberando la $y$ otteniamo:

$f(x)=(sign(cosx)(xsinx+cosx))/(|cosx|)+c/|cosx|$

La condizione $xnepi/2+kpi$ continua a esserci

In particolare scrivendo $sign(cosx)=cosx/|cosx|$

$f(x)=(xtanx+1)+c/|cosx|$