Dubbio discontinuità
Altro piccolo dubbietto....posto il grafico sul quale ho qualche problemino 
L'esercizio chiede tra le altre cose, di indicare i punti di discontinuità. Facile no?
Nel punto $x=0$ la funzione ha un punto di discontinuità, salta direttamente alla $y=-1$
da qui salta al punto di coordinate $(-1;0)$
il mio dubbio è questo.
se arrivo da sinistra, il mio "salto" è in $(-1;0)$
se arrivo da destra, il mio "salto" è in x=0
quindi penso che entrambi siano punti di discontinuità.
L'esercizio però fornisce solo $x=0$.
Cosa c'è di sbagliato nel mio ragionamento? ad ogni salto corrisponde un punto di discontinuità.
Ogni volta che "stacco" la penna per disegnare il grafico è un punto di discontinuità. Fisicamente la "penna" la stacco 2 volte, e quindi dovrei avere 2 punti di discontinuità. o no?
L'esercizio chiede tra le altre cose, di indicare i punti di discontinuità. Facile no?
Nel punto $x=0$ la funzione ha un punto di discontinuità, salta direttamente alla $y=-1$
da qui salta al punto di coordinate $(-1;0)$
il mio dubbio è questo.
se arrivo da sinistra, il mio "salto" è in $(-1;0)$
se arrivo da destra, il mio "salto" è in x=0
quindi penso che entrambi siano punti di discontinuità.
L'esercizio però fornisce solo $x=0$.
Cosa c'è di sbagliato nel mio ragionamento? ad ogni salto corrisponde un punto di discontinuità.
Ogni volta che "stacco" la penna per disegnare il grafico è un punto di discontinuità. Fisicamente la "penna" la stacco 2 volte, e quindi dovrei avere 2 punti di discontinuità. o no?
Risposte
Esiste discontinuità fuori dal dominio?
"axpgn":
Esiste discontinuità fuori dal dominio?
ehm...no?? se è fuori dal dominio la funzione di li non passa.
E quindi?
"axpgn":
E quindi?
Quindi essendo il concetto di continuità collegato al concetto di Dominio, una funzione è continua se lo è in tutti i punti del Dominio. Pertanto dove "non passa" non posso pormi il problema della continuità.
"Marco1005":
Pertanto dove "non passa" non posso pormi il problema della continuità.
Ok, anche se il tuo modo di esprimerti mi lascia sempre un po' perplesso
"axpgn":
[quote="Marco1005"] Pertanto dove "non passa" non posso pormi il problema della continuità.
Ok, anche se il tuo modo di esprimerti mi lascia sempre un po' perplesso
[/quote]
sono un ragioniere, non un matematico come te Alex quindi semplifico
"axpgn":
Esiste discontinuità fuori dal dominio?
Scusa alex riprendo un attimo questo post.
se non esiste discontinuità fuori dal dominio, allora in ogni asintoto verticale non potrei raccontare che ci troviamo in una discontinuità di 2° specie no?
Quel punto è escluso dal dominio. Eppure nonostante sia escluso dal dominio c'è discontinuità.
Che differenza c'è tra un asintoto verticale e la "zona" del mio grafico dove "non passa" la funzione?
Grazie
È una questione ricorrente, non so quanti post ci siano nel Forum a riguardo.
Non si può parlare di discontinuità fuori dal dominio (così come non si può parlare di continuità fuori dal dominio) però alle Superiori si usa così col risultato che i liceali considerano $1/x$ discontinua e poi arriva gugo82 che li massacra
Non si può parlare di discontinuità fuori dal dominio (così come non si può parlare di continuità fuori dal dominio) però alle Superiori si usa così col risultato che i liceali considerano $1/x$ discontinua e poi arriva gugo82 che li massacra
[ot]
[/ot]
"axpgn":
e poi arriva gugo82 che li massacra
[/ot]
"Marco1005":
[quote="axpgn"]Esiste discontinuità fuori dal dominio?
Scusa alex riprendo un attimo questo post.
se non esiste discontinuità fuori dal dominio, allora in ogni asintoto verticale non potrei raccontare che ci troviamo in una discontinuità di 2° specie no?
Quel punto è escluso dal dominio. Eppure nonostante sia escluso dal dominio c'è discontinuità.
Che differenza c'è tra un asintoto verticale e la "zona" del mio grafico dove "non passa" la funzione?
Grazie[/quote]
Questa confusione viene quando le cose vengono spiegate (e chiamate) non adeguatamente, ma classificate così tanto per. Dimentica la nomenclatura "prima specie/seconda terza bla bla"
Una funzione è continua oppure discontinua in un punto in cui è definita, sarà tautologico ma per i punti in cui non è definita semplicemente non è definita! E basta!
Prendi la funzione \[g : \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \to \mathbb{R} \]
\[ x \mapsto g(x) = x \]
è una funzione continua su tutti i punti del suo dominio. E non è definita in \(x=0\).
Prendi \[f : \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \to \mathbb{R} \]
\[ x \mapsto f(x) = \frac{1}{x} \]
è una funzione continua su tutti i punti del suo dominio. E non è definita in \(x=0\), possiede un asintoto verticale in \(x=0 \), ma \(x = 0 \) non è un punto di discontinuità per \(f\)!!
Quindi cosa vuol dire "discontinuità di seconda specie" nome che io abolirei personalmente!
La vera domanda è la seguente: se una funzione non è definita in alcuni punti, posso estenderla (ovvero definirla) in quei punti in modo tale che questa nuova funzione coincide (è uguale) a quella che avevo prima laddove era definita e che risulti continua anche nei nuovi punti in cui l'ho definita? Nota che definendola in nuovi punti sto considerando una funzione diversa!
Proviamo!
Per la prima funzione definiamo \[ \tilde{g} : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \]
\[ x \mapsto \tilde{g}(x) =g(x) \text{ se } x \neq 0 \]
\[ 0 \mapsto \tilde{g}(0) = 0 \]
Ora questa funzione estende \(g\), perché su \( \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \) le funzioni coincidono, ed è continua anche nel punto \(x=0\), quindi la risposta è sì, un estensione continua di \( g \) esiste. Nota però che \( \tilde{g} \) è una funzione diversa da \(g\).
La funzione \( \tilde{g} \) è definita in tutti punti di \( \mathbb{R} \) ed è continua in tutti punti di \( \mathbb{R} \).
Nota però che se avessi fatto un altra scelta, ad esempio
\[ \tilde{h} : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \]
\[ x \mapsto \tilde{h}(x) =g(x) \text{ se } x \neq 0 \]
\[ 0 \mapsto \tilde{h}(0) = 1 \]
La funzione \( \tilde{h} \) sarebbe un estensione di \(g\) ma risulterebbe discontinua in \(x=0\).
Mentre per \(f\), la risposta è no! Non esiste una funzione \( \tilde{f} \) continua su \( \mathbb{R} \) tale che \( \tilde{f}(x) = f(x) \) per ogni \(x \neq 0 \). Infatti se definisco \( \tilde{f}(x) = f(x) \) quando \(x \neq 0 \) e \( \tilde{f}(0) = c \) dove \(c \in \mathbb{R} \) è un numero reale qualunque che fisso (non una variabile) allora la funzione seguente è discontinua in \(x = 0 \)
\[ \tilde{f} : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \]
\[ x \mapsto \tilde{f}(x) = f(x) \text{ se } x \neq 0 \]
\[ 0 \mapsto \tilde{f}(0) = c \]
Nota la differenza:
La funzione \(f\) è continua su tutti i punti del suo dominio. E non è definita in \(x=0\), possiede un asintoto verticale in \(x=0 \), ma \(x = 0 \) non è un punto di discontinuità per \(f\)!!
La funzione \( \tilde{f} \) è definita in tutti i punti di \( \mathbb{R} \) ed è discontinua in \( x = 0 \).
In definitiva
Quando ti trovi in presenza di un asintoto verticale quindi non è vero che il punto è un punto di discontinuità perché la funzione \(f\) semplicemente non è definita lì, è vero che ogni sua estensione \( \tilde{f} \) definita in quel punto è discontinua in quel punto!
"3m0o":
Una funzione è continua oppure discontinua in un punto in cui è definita, sarà tautologico ma per i punti in cui non è definita semplicemente non è definita! E basta!
In definitiva
Quando ti trovi in presenza di un asintoto verticale quindi non è vero che il punto è un punto di discontinuità perché la funzione \(f\) semplicemente non è definita lì, è vero che ogni sua estensione \( \tilde{f} \) definita in quel punto è discontinua in quel punto!
Grazie per l'ottima spiegazione. Faccio fatica a metabolizzare il concetto di "estensione" sarò sincero. Il succo però l'ho compreso. Quindi da ora in avanti quando ragiono con gli universitari lascio stare punti di discontinuità di prima e seconda specie.
"axpgn":
però alle Superiori si usa così col risultato che i liceali considerano $1/x$ discontinua e poi arriva gugo82 che li massacra
che è quello che ho sempre pensato io
.nel nostro esempio la funzione in $x=0$ dovrebbe continuare verso $y=1$ mentre invece salta e scende a $y=-1$ bene. Il punto $x=0$ è un punto del dominio in cui la funzione è discontinua.
mentre dove non esiste non ha senso parlare di discontinuità. Thanks
"Marco1005":
Grazie per l'ottima spiegazione. Faccio fatica a metabolizzare il concetto di "estensione" sarò sincero. Il succo però l'ho compreso. Quindi da ora in avanti quando ragiono con gli universitari lascio stare punti di discontinuità di prima e seconda specie.
Dai lezioni anche agli universitari?
"Marco1005":
Faccio fatica a metabolizzare il concetto di "estensione" sarò sincero.
È normale. Il fatto è che siamo abituati ad immaginare le funzioni come curve continue carine, quando in realtà il concetto di funzione è ben più astratto. Ad esempio, anche una legge che ha come dominio l'insieme dei tre numeri $1$, $2$ e $3$ e associa ad $1$ il numero $7$, a $2$ il numero $5$ e a $3$ il numero $10$ è una funzione. Il suo grafico sono semplicemente i tre punti $(1,7)$, $(2,5$) e $(3,10)$ sul piano cartesiano.
Quindi, una volta che uno si toglie dalla testa lo stereotipo "funzione = curva continua carina", torna tutto. In questo caso, il concetto di estensione, detto brutalmente, non è altro che: "Voglio definire una funzione. Per tutte le $x$ di un certo sottoinsieme numerico, decido di associare alla $x$ un valore che è stabilito dalla curva carina $1/x$; quale sottoinsieme numerico? Ad esempio uno dei numeri reali che piace a me, tranne quelli che contengono lo $0$ perché non ha proprio senso $1/x$ per $x=0$. Facciamo che mi va di usare come sottoinsieme tutto l'insieme in cui $1/x$ ha senso, ossia $\mathbb{R}\setminus\{0\}$; ma potrei usarne un altro, dato che la funzione la sto definendo io faccio come mi pare (finché quel che faccio è lecito). Nel punto $x=0$ non ha senso considerare una legge dipendente da una variabile, in quanto ho un solo valore e quindi tanto vale che dico quanto voglio che valga $f$ in $0$: perciò, in $0$ la definisco come mi pare, tipo $f(0)=25$. Ottengo quindi:
$$f(x)=\begin{cases} 1/x, \ \text{se} \ x \ne 0 \\ 25, \ \text{se} \ x=0\end{cases}$$
Il cui grafico è l'iperbole $1/x$ su tutto $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ unito il punto $(0,25)$."
Dato che la funzione $f$ che ottieni è uguale a $1/x$ in $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ ma ha anche qualcosa in più (in $0$ l'hai fatta valere $25$), su un sottoinsieme (nello specifico $\mathbb{R}\setminus\{0\}$) quella è la stessa funzione di prima ma poi aggiungi punti che prima non c'erano; da qui, il motivo per cui si usa la parola "estensione" è chiaro proprio da ciò che significa in italiano. Forse questa cosa l'ha già detta 3m0o, mi scuso in caso per la ripetizione.
Ovviamente, non devi per forza estendere nei punti solo in cui non hanno senso le operazioni algebriche. Anche la funzione $g:[-1,1] \to \mathbb{R}$ definita da $g(x)=x$ (il cui grafico è il segmento passante per i punti $(-1,-1)$ e $(1,1)$) si estende alla funzione $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definita ponendo $h(x)=x$ (il cui grafico è la ben nota bisettrice del primo e terzo quadrante). Ovviamente, puoi vedere anche le cose al contrario: ossia, $g$ è una restrizione di $h$, nello specifico la restrizione all'intervallo $[-1,1]$.
Ricordati che le funzioni si definiscono, quindi hai completa libertà (se tutto quel che fai è lecito).
"funzioni carine" are for boys, "funzioni patologiche" are for men
E noi modestamente... Lo nascemmo.
"gio73":
[quote="Marco1005"]
Grazie per l'ottima spiegazione. Faccio fatica a metabolizzare il concetto di "estensione" sarò sincero. Il succo però l'ho compreso. Quindi da ora in avanti quando ragiono con gli universitari lascio stare punti di discontinuità di prima e seconda specie.
Dai lezioni anche agli universitari?[/quote]
più per economia aziendale e matematica finanziaria...raramente per matematica..dipende dal programma
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